произведение двух натуральных чисел на 28 больше удвоенного большего числа. найдите эти числа если одно из них на 10 больше другого
Давайте разберём данное уравнение шаг за шагом.
Для начала обозначим два натуральных числа. Пусть одно число будет \(x\), а другое \(y\). Мы знаем, что одно из чисел на 10 больше другого, поэтому можем записать:
\[ y = x + 10 \]
Следующее условие задачи: произведение \(x\) и \(y\) на 28 больше удвоенного большего числа. Поскольку \(y > x\), больший числом будет \(y\). Формально это записывается как:
\[ xy = 2y + 28 \]
Теперь подставим выражение для \(y\) в уравнение:
\[ x(x + 10) = 2(x + 10) + 28 \]
Теперь раскроем скобки. Сначала левая сторона:
\[ x^2 + 10x \]
Теперь правая сторона:
\[ 2(x + 10) + 28 = 2x + 20 + 28 = 2x + 48 \]
Таким образом, у нас получается следующее уравнение:
\[ x^2 + 10x = 2x + 48 \]
Теперь соберём все члены на одной стороне уравнения:
\[ x^2 + 10x - 2x - 48 = 0 \]
Сложим подобные члены:
\[ x^2 + 8x - 48 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
где \(a = 1\), \(b = 8\), \(c = -48\):
\[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256 \]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два разных корня. Находим корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 \pm 16}{2} \]
Теперь найдём два решения:
- \(x_1 = \frac{8}{2} = 4\)
- \(x_2 = \frac{-24}{2} = -12\)
Поскольку \(x\) должно быть натуральным числом, оставляем только \(x = 4\).
Теперь найдем \(y\):
\[ y = x + 10 = 4 + 10 = 14 \]
Таким образом, числа \(x\) и \(y\) равны 4 и 14 соответственно.
Ответ: \(x = 4\), \(y = 14\)
