Решить уравнение: 5 sin x - COS x = 0.

Чтобы решить уравнение \(5 \sin x - \cos x = 0\), давайте учтем основные тригонометрические идентичности и пошагово разберем процесс решения. ### Шаг 1: Преобразуем уравнение Начнем с того, чтобы выразить \(\cos x\) через \(\sin x\): \[ 5 \sin x = \cos x \] Теперь мы можем выразить \(\cos x\) через \(\sin x\): \[ \cos x = 5 \sin x \] ### Шаг 2: Используем тригонометрическую идентичность Напомним, что для любого угла \(x\) выполняется идентичность: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Подставим значение \(\cos x\) из нашего уравнения: \[ \sin^2 x + (5 \sin x)^2 = 1 \] ### Шаг 3: Раскроем скобки и упрощаем уравнение Теперь раскроем скобки: \[ \sin^2 x + 25 \sin^2 x = 1 \] Это можно упростить: \[ 26 \sin^2 x = 1 \] ### Шаг 4: Решим уравнение для \(\sin x\) Теперь выразим \(\sin^2 x\): \[ \sin^2 x = \frac{1}{26} \] Теперь, чтобы найти \(\sin x\), возьмем корень из обеих сторон: \[ \sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{26}} \] ### Шаг 5: Находим значения углов Зная, что \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{26}}\) и \(\sin x = -\frac{1}{\sqrt{26}}\), мы можем найти соответствующие углы \(x\): 1. Для \(\sin x = \frac{1}{\sqrt{26}}\): - \(x = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\) и - \(x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\). 2. Для \(\sin x = -\frac{1}{\sqrt{26}}\): - \(x = -\arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\) и - \(x = -\pi + \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\). ### Шаг 6: Запишем общий вид решения Общие решения для данного уравнения будут иметь вид: \[ x = n \cdot 2\pi + \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right) \] \[ x = n \cdot 2\pi + \pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right) \] \[ x = n \cdot 2\pi - \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right) \] \[ x = n \cdot 2\pi - \pi + \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{26}}\right) \] где \(n\) — любое целое число. ### Заключение Таким образом, мы нашли все возможные значения \(x\) для уравнения \(5 \sin x - \cos x = 0\), учитывая свои преобразования и варианты, связанные с определением синуса. Если необходимы графические представления или дополнительные пояснения, не стесняйтесь спрашивать!