Решить уравнение : 1/(х-8)2-1/(х-8)-6=0

Давайте решим уравнение: \[ \frac{1}{(x-8)^2} - \frac{1}{(x-8)} - 6 = 0. \] ### Шаг 1: Замена переменной Для упрощения уравнения сделаем замену переменной. Пусть: \[ y = \frac{1}{(x-8)}. \] Тогда: \[ \frac{1}{(x-8)^2} = y^2. \] Теперь исходное уравнение можно переписать как: \[ y^2 - y - 6 = 0. \] ### Шаг 2: Решение квадратного уравнения Теперь мы имеем квадратное уравнение: \[ y^2 - y - 6 = 0. \] Мы можем решить его, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \((ax^2 + bx + c = 0)\): \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Подставим эти значения в формулу: 1. Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. \] 2. Теперь находим корни: \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}. \] Это дает нам два решения: - \(y_1 = \frac{6}{2} = 3\), - \(y_2 = \frac{-4}{2} = -2\). ### Шаг 3: Возвращаемся к переменной \(x\) Теперь нам нужно вернуть \(y\) к \(x\): 1. Если \(y = 3\): \[ \frac{1}{(x-8)} = 3 \implies (x-8) = \frac{1}{3} \implies x = 8 + \frac{1}{3} = \frac{24}{3} + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}. \] 2. Если \(y = -2\): \[ \frac{1}{(x-8)} = -2 \implies (x-8) = -\frac{1}{2} \implies x = 8 - \frac{1}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}. \] ### Шаг 4: Итоговые решения Таким образом, у нас есть два решения уравнения: \[ x_1 = \frac{25}{3}, \quad x_2 = \frac{15}{2}. \] ### Результат **Ответ:** \(x = \frac{25}{3}\) и \(x = \frac{15}{2}\).