Решить уравнение : 1/(х-8)2-1/(х-8)-6=0
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{1}{(x-8)^2} - \frac{1}{(x-8)} - 6 = 0. \]
Шаг 1: Замена переменной
Для упрощения уравнения сделаем замену переменной. Пусть:
\[ y = \frac{1}{(x-8)}. \]
Тогда:
\[ \frac{1}{(x-8)^2} = y^2. \]
Теперь исходное уравнение можно переписать как:
\[ y^2 - y - 6 = 0. \]
Шаг 2: Решение квадратного уравнения
Теперь мы имеем квадратное уравнение:
\[ y^2 - y - 6 = 0. \]
Мы можем решить его, используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения \((ax^2 + bx + c = 0)\):
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \]
В нашем случае \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Подставим эти значения в формулу:
- Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25. \]
- Теперь находим корни:
\[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}. \]
Это дает нам два решения:
- \(y_1 = \frac{6}{2} = 3\),
- \(y_2 = \frac{-4}{2} = -2\).
Шаг 3: Возвращаемся к переменной \(x\)
Теперь нам нужно вернуть \(y\) к \(x\):
- Если \(y = 3\):
\[ \frac{1}{(x-8)} = 3 \implies (x-8) = \frac{1}{3} \implies x = 8 + \frac{1}{3} = \frac{24}{3} + \frac{1}{3} = \frac{25}{3}. \]
- Если \(y = -2\):
\[ \frac{1}{(x-8)} = -2 \implies (x-8) = -\frac{1}{2} \implies x = 8 - \frac{1}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}. \]
Шаг 4: Итоговые решения
Таким образом, у нас есть два решения уравнения:
\[ x_1 = \frac{25}{3}, \quad x_2 = \frac{15}{2}. \]
Результат
Ответ: \(x = \frac{25}{3}\) и \(x = \frac{15}{2}\).
