Реши систему уравнений, используя для удобства графический способ решения: { x 2 + y 2 = 625 y = x 2 − 25 { x 2 +y 2 =625 y=x 2 −25 ​

Для решения данной системы уравнений графическим способом начнем с того, что мы имеем две функции, которые представляют собой уравнения.

Уравнение 1:

\[ x^2 + y^2 = 625 \]

Это уравнение кругa с центром в точке (0, 0) и радиусом 25, так как \( \sqrt{625} = 25 \).

Уравнение 2:

\[ y = x^2 - 25 \]

Это уравнение параболы, открытой вверх, с вершиной в точке (0, -25).

Шаг 1: Построение графиков

1. Круг:

   • Найдите несколько точек на круге. Например:
     • Если \( x = 0 \), \( y^2 = 625 \) ⇒ \( y = 25 \) или \( y = -25 \).
     • Если \( x = 25 \), \( y = 0 \).
     • Если \( x = -25 \), \( y = 0 \).
   • Таким образом, мы можем построить круг, который проходит через точки (0, 25), (0, -25), (25, 0), (-25, 0).

2. Парабола:

   • Найдите несколько точек на параболе, например:
     • Если \( x = 0 \), \( y = 0^2 - 25 = -25 \) (это вершина).
     • Если \( x = 5 \), \( y = 5^2 - 25 = 0 \).
     • Если \( x = -5 \), \( y = 0 \).
     • Если \( x = 10 \), \( y = 10^2 - 25 = 75 \) (точка выше нуля).
   • Таким образом, на плоскости будут такие точки: (0, -25), (5, 0), (-5, 0), (10, 75).

Шаг 2: Построение графиков на декартовой системе координат

Теперь мы можем построить оба графика на координатной плоскости:

• Нарисуйте круг радиусом 25, центрированный в начале координат.
• Нарисуйте параболу, открывающуюся вверх, по полученным выше точкам.

Шаг 3: Найдём точки пересечения

Точки пересечения графиков будут являться решениями данной системы уравнений.

1. Использование замены:

   • Подставим \( y = x^2 - 25 \) во уравнение круга. \[ x^2 + (x^2 - 25)^2 = 625 \]
   • Теперь упростим уравнение: \[ x^2 + (x^4 - 50x^2 + 625) = 625 \] \[ x^4 - 49x^2 = 0 \] \[ x^2(x^2 - 49) = 0 \]
   • Получаем \( x^2 = 0 \) или \( x^2 = 49 \), т.е. \( x = 0 \), \( x = 7 \), и \( x = -7 \).

2. Подставим обратно для нахождения \( y \):

   • Для \( x = 0 \): \( y = 0^2 - 25 = -25 \) ⇒ точка (0, -25).
   • Для \( x = 7 \): \( y = 7^2 - 25 = 49 - 25 = 24 \) ⇒ точка (7, 24).
   • Для \( x = -7 \): \( y = (-7)^2 - 25 = 49 - 25 = 24 \) ⇒ точка (-7, 24).

Ответ

Таким образом, у нас есть два решения системы уравнений:

1. \( (0, -25) \)
2. \( (7, 24) \)
3. \( (-7, 24) \)

Общее решение:

• Точки пересечения графиков, или решения системы, — это (0, -25), (7, 24), и (-7, 24).