реши задачу
Для того чтобы найти площадь трапеции, ограниченной линиями \(y = x^3 + 1\), \(x = 0\), \(y = 0\) и касательной к графику \(y = x^3 + 1\) в точке \(x = 1\), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найдем касательную к графику \(y = x^3 + 1\) в точке \(x = 1\).
Вычислим производную функции \(y = x^3 + 1\): \[ y' = 3x^2 \]
Значение производной в точке \(x = 1\): \[ y'(1) = 3 \cdot 1^2 = 3 \]
Уравнение касательной: используя точку \((1, 2)\) (поскольку \(y = 1^3 + 1 = 2\)), уравнение касательной имеет вид: \[ y - 2 = 3(x - 1) \] или \[ y = 3x - 1 \]
Шаг 2: Найдем точки пересечения касательной и оси абсцисс.
Касательная пересекает ось \(y = 0\) в точке, где: \[ 3x - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{3} \]
Шаг 3: Найдем площадь трапеции.
Трапеция ограничивается линиями:
- \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{3}\)
- основание: на оси \(x\) от \(0\) до \(\frac{1}{3}\)
Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2}(b_1 + b_2) \cdot h \] где \(b_1 = y = 0\) и \(b_2 = 3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 0\), а высота \(h = \frac{1}{3}\).
Получается: \[ S = \frac{1}{2}(2 + 0) \cdot \frac{1}{3} \] Так как площадь равна разнице площади под кривой и площадью, ограниченной касательной: \[ S = \int_0^1 (x^3 + 1)\,dx - \int_0^1 (3x - 1)\,dx \]
Посчитаем интегралы: \[ \int_0^1 (x^3 + 1)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} + x\right]_0^1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4} \] \[ \int_0^1 (3x - 1)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} - x\right]_0^1 = \left(\frac{3}{2} - 1\right) = \frac{1}{2} \]
Итак, площадь: \[ S = \frac{5}{4} - \frac{1}{2} = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4} \]
По заданию, необходимо ввести площадь в тысячных, то есть \(0.75\).
Таким образом, площадь трапеции равна \(0.75\).
