Теннисный мяч случайно упал в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетел 6 6 метров, а в каждую следующую секунду на 7 7 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор,…

Чтобы рассчитать, сколько метров пролетел камень за первые три секунды, давайте разберем задачу.

1. Условия задачи:

   • В первую секунду камень пролетел 13 метров.
   • В каждую следующую секунду он пролетает на 14 метров больше, чем в предыдущую.

2. Определим расстояние, пройденное камнем в каждой секунде:

   • Первая секунда: 13 метров.
   • Вторая секунда: \( 13 + 14 = 27 \) метров.
   • Третья секунда: \( 27 + 14 = 41 \) метров.

3. Составим таблицу пройденного расстояния по секундам:

   Секунда	Расстояние (метры)
   1	13
   2	27
   3	41

4. Теперь сложим все расстояния, пройденные за первые три секунды: \[ 13 + 27 + 41 \]

5. Выполним сложение:

   • \( 13 + 27 = 40 \)
   • \( 40 + 41 = 81 \)

Таким образом, камень пролетел 81 метр за первые три секунды.

Для решения задачи начнем с анализа информации об амфитеатре.

Даны следующие условия:

1. В третьем ряду 12 мест.
2. В шестом ряду 24 места.

Каждый ряд содержит на одно и то же число мест больше, чем предыдущий ряд. Будем обозначать:

• \( a \) — количество мест в первом ряду.
• \( d \) — разность (количество мест, на которое увеличивается число мест в каждом следующем ряду).

Теперь мы можем записать количество мест в каждом из рядов:

• 1-й ряд: \( a \)
• 2-й ряд: \( a + d \)
• 3-й ряд: \( a + 2d \)
• 4-й ряд: \( a + 3d \)
• 5-й ряд: \( a + 4d \)
• 6-й ряд: \( a + 5d \)

Согласно условиям задачи, у нас есть два уравнения:

\[ a + 2d = 12 \quad (1) \] \[ a + 5d = 24 \quad (2) \]

Теперь вычтем (1) из (2):

\[ (a + 5d) - (a + 2d) = 24 - 12 \] \[ 3d = 12 \] \[ d = 4 \]

Теперь подставим значение \( d \) в одно из уравнений, например, в (1):

\[ a + 2 \cdot 4 = 12 \] \[ a + 8 = 12 \] \[ a = 4 \]

Теперь мы знаем, что:

• \( a = 4 \) (количество мест в первом ряду)
• \( d = 4 \) (количество мест, на которое увеличивается число мест в каждом следующем ряду)

Теперь можем вычислить количество мест в каждом ряду:

• 1-й ряд: \( 4 \)
• 2-й ряд: \( 4 + 4 = 8 \)
• 3-й ряд: \( 12 \) (как указано)
• 4-й ряд: \( 4 + 3 \cdot 4 = 16 \)
• 5-й ряд: \( 4 + 4 \cdot 4 = 20 \)
• 6-й ряд: \( 24 \) (как указано)
• 7-й ряд: \( 4 + 6 \cdot 4 = 28 \)
• 8-й ряд: \( 4 + 7 \cdot 4 = 32 \)
• 9-й ряд: \( 4 + 8 \cdot 4 = 36 \)
• 10-й ряд: \( 4 + 9 \cdot 4 = 40 \)
• 11-й ряд: \( 4 + 10 \cdot 4 = 44 \)
• 12-й ряд: \( 4 + 11 \cdot 4 = 48 \)
• 13-й ряд: \( 4 + 12 \cdot 4 = 52 \)
• 14-й ряд: \( 4 + 13 \cdot 4 = 56 \)
• 15-й ряд: \( 4 + 14 \cdot 4 = 60 \)

Теперь давайте сложим количество мест в каждом ряду:

\[ 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32 + 36 + 40 + 44 + 48 + 52 + 56 + 60 \]

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Количество членов \( n = 15 \).

Формула суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \( a_1 \) — первый член, \( a_n \) — последний член.

Подставим известные значения:

\[ S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (4 + 60) = \frac{15}{2} \cdot 64 = 15 \cdot 32 = 480 \]

Таким образом, всего мест в амфитеатре 480.