Дан треугольник АВС, укоторого угол C = 90" Найди sin углаB, если cos угла B= 20/29 Ответ:
Для решения этой задачи давайте воспользуемся тригонометрическими соотношениями, которые относятся к прямоугольным треугольникам.
Дан треугольник ABC, в котором угол C равен 90°, и известно, что \(\cos B = \frac{20}{29}\). Нам необходимо найти \(\sin B\).
Шаг 1: Используем соотношение между синусом и косинусом
В прямоугольном треугольнике выполняется следующая связь между синусом и косинусом угла:
\[ \sin^2 B + \cos^2 B = 1 \]
Шаг 2: Подставляем известное значение
Мы знаем \(\cos B = \frac{20}{29}\). Подставим это значение в уравнение:
\[ \sin^2 B + \left(\frac{20}{29}\right)^2 = 1 \]
Шаг 3: Вычисляем квадрат косинуса
Сначала найдём \(\left(\frac{20}{29}\right)^2\):
\[ \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{400}{841} \]
Шаг 4: Подставляем и решаем уравнение
Теперь подставим это значение в наше уравнение:
\[ \sin^2 B + \frac{400}{841} = 1 \]
Чтобы найти \(\sin^2 B\), вычтем \(\frac{400}{841}\) из 1:
\[ \sin^2 B = 1 - \frac{400}{841} \]
Шаг 5: Приводим единицу к общему знаменателю
1 можно представить как \(\frac{841}{841}\). Теперь у нас:
\[ \sin^2 B = \frac{841}{841} - \frac{400}{841} = \frac{441}{841} \]
Шаг 6: Находим синус
Теперь извлечем корень из обеих сторон:
\[ \sin B = \sqrt{\frac{441}{841}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{841}} = \frac{21}{29} \]
Ответ
Таким образом, \(\sin B = \frac{21}{29}\).
Это решение показывает, как связаны синус и косинус в прямоугольном треугольнике и как можно найти один из них, зная другой.
