Для решения этой задачи давайте воспользуемся тригонометрическими соотношениями, которые относятся к прямоугольным треугольникам.
Дан треугольник ABC, в котором угол C равен 90°, и известно, что (\cos B = \frac{20}{29}). Нам необходимо найти (\sin B).
Шаг 1: Используем соотношение между синусом и косинусом
В прямоугольном треугольнике выполняется следующая связь между синусом и косинусом угла:
[
\sin^2 B + \cos^2 B = 1
]
Шаг 2: Подставляем известное значение
Мы знаем (\cos B = \frac{20}{29}). Подставим это значение в уравнение:
[
\sin^2 B + \left(\frac{20}{29}\right)^2 = 1
]
Шаг 3: Вычисляем квадрат косинуса
Сначала найдём (\left(\frac{20}{29}\right)^2):
[
\left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{400}{841}
]
Шаг 4: Подставляем и решаем уравнение
Теперь подставим это значение в наше уравнение:
[
\sin^2 B + \frac{400}{841} = 1
]
Чтобы найти (\sin^2 B), вычтем (\frac{400}{841}) из 1:
[
\sin^2 B = 1 - \frac{400}{841}
]
Шаг 5: Приводим единицу к общему знаменателю
1 можно представить как (\frac{841}{841}). Теперь у нас:
[
\sin^2 B = \frac{841}{841} - \frac{400}{841} = \frac{441}{841}
]
Шаг 6: Находим синус
Теперь извлечем корень из обеих сторон:
[
\sin B = \sqrt{\frac{441}{841}} = \frac{\sqrt{441}}{\sqrt{841}} = \frac{21}{29}
]
Ответ
Таким образом, (\sin B = \frac{21}{29}).
Это решение показывает, как связаны синус и косинус в прямоугольном треугольнике и как можно найти один из них, зная другой.
