Чтобы найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, где биссектрису прямого угла задано равной 5 см, давайте начнем с понимания свойств такого треугольника.
Шаг 1: Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника
В равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны (по 45 градусов), и у нас есть следующее:
- Обозначим основание треугольника (два равных катета) как ( a ).
- Гипотенуза будет равна ( a\sqrt{2} ), согласно теореме Пифагора.
Шаг 2: Определение биссектрисы
В равнобедренном прямоугольном треугольнике биссектрису прямого угла можно выразить через длину его катетов. Формула для длины биссектрисы ( l ) (из угла между двумя катетами) следующая:
[
l = \frac{a\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 3: Подстановка известного значения
Из условия задачи нам известно, что биссектрисa равна 5 см. Подставляем это значение в уравнение:
[
5 = \frac{a\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 4: Решение уравнения
Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:
[
10 = a\sqrt{2}
]
Теперь разделим обе стороны на ( \sqrt{2} ):
[
a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}
]
Шаг 5: Нахождение гипотенузы
Теперь можем найти гипотенузу ( c ) с помощью формулы:
[
c = a\sqrt{2}
]
Подставляем значение ( a ):
[
c = (5\sqrt{2})\sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}
]
Ответ
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 10 см.
