y²-x=-1, x=y+3;

Давайте решим систему уравнений, приведенную в задаче:

1. Уравнения: \[ y^2 - x = -1 \quad \text{(1)} \] \[ x = y + 3 \quad \text{(2)} \]

Шаг 1: Подстановка

Сначала мы можем использовать второе уравнение (2) для подстановки значения \(x\) в первое уравнение (1). Из уравнения (2) мы видим, что \(x\) можно выразить через \(y\): \[ x = y + 3 \]

Теперь подставим это значение в первое уравнение (1): \[ y^2 - (y + 3) = -1 \]

Шаг 2: Упрощение первого уравнения

Раскроем скобки и упростим выражение: \[ y^2 - y - 3 = -1 \]

Теперь добавим 1 к обеим сторонам уравнения: \[ y^2 - y - 3 + 1 = 0 \] \[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Теперь мы видим, что у нас есть квадратное уравнение: \[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Для решения этого уравнения мы можем использовать формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\).

Считаем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня.

Теперь находим корни по формуле: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Посчитаем оба корня:

1. \[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
2. \[ y_2 = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Шаг 4: Подстановка обратно в уравнение

Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно в выражение для \(x\) из уравнения (2):

1. Для \(y_1 = 2\): \[ x_1 = 2 + 3 = 5 \]
2. Для \(y_2 = -1\): \[ x_2 = -1 + 3 = 2 \]

Итоговые решения

Таким образом, у нас получаются два решения системы:

1. \((x_1, y_1) = (5, 2)\)
2. \((x_2, y_2) = (2, -1)\)

Проверка

Проверим каждую пару в исходных уравнениях:

1. Для \((5, 2)\):

   • \(y^2 - x = -1 \Rightarrow 2^2 - 5 = 4 - 5 = -1\) (верно)
   • \(x = y + 3 \Rightarrow 5 = 2 + 3\) (верно)

2. Для \((2, -1)\):

   • \(y^2 - x = -1 \Rightarrow (-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1\) (верно)
   • \(x = y + 3 \Rightarrow 2 = -1 + 3\) (верно)

Заключение

Оба решения верны. Система уравнений имеет два решения: \((5, 2)\) и \((2, -1)\).