Давайте разберем задачу, связанную с геометрической прогрессией, шаг за шагом.
Дано:
- Геометрическая прогрессия с первым членом ( a_1 = b ) (где ( b ) — это неизвестное значение первого члена).
- Знаменатель прогрессии ( q = 1 ).
- Сумма первых шести членов ( S = 4 ).
Задача:
Мы должны найти значение первого члена ( b ).
Формула суммы геометрической прогрессии:
Сумма первых ( n ) членов геометрической прогрессии (где ( a_1 ) — первый член, ( q ) — знаменатель прогрессии) рассчитывается по формуле:
[
S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)
]
Однако в нашем случае ( q = 1 ), поэтому используется другая формула:
[
S_n = n \cdot a_1
]
где ( n ) — количество членов прогрессии. В данном случае ( n = 6 ).
Подстановка данных:
Мы знаем, что ( S = 4 ) и ( n = 6 ). Таким образом, можем записать:
[
S = 6 \cdot b
]
Подставим известные значения:
[
4 = 6 \cdot b
]
Решение для ( b ):
Теперь решим это уравнение для нахождения значения ( b ):
[
b = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
]
Ответ:
Таким образом, значение первого члена геометрической прогрессии ( b ) равно ( \frac{2}{3} ).
Проверка:
Теперь проверим, правильный ли у нас ответ. Если ( b = \frac{2}{3} ) и ( q = 1 ), то все члены прогрессии равны ( \frac{2}{3} ). Сумма шести членов будет:
[
S = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4
]
Это именно то, что мы и искали. Ответ верен!
