В случайном эксперименте игральную кость бросают дважды. Рассмотрим А 5%. -А = {в первый раз выпало чётное число очков}, = В = {во второй раз выпала пятёрка}, 5 С = {в сумме на двух костях выпало десять}. Сколько элементарных событий входят в события 4, В? Выпишите все элемев- тарные события, составляющие событие С. Укажите все элементарные исходы, входящие в пересечения событий А и В, АиС, ВисС. Являются ли перечисленные пары событий несовместными? Являются ли несовместными события АПВИи С? Найдите вероятности событий А, В,С и их пересечений А В, А С, В С.
Чтобы решить задачу, рассмотрим ее компоненты и шаги, необходимые для понимания. Мы будем работать с броском стандартной игральной кости, который имеет 6 граней с числами от 1 до 6.
### Шаг 1: Определение элементарных событий
При броске игральной кости можем получить следующие результаты:
1, 2, 3, 4, 5, 6.
Поскольку мы бросаем кость дважды, общее количество элементарных исходов при двух бросках равно \(6 \times 6 = 36\).
### Шаг 2: Определение событий A, B и C
1. **Событие A:** {в первый раз выпало чётное число очков}
Чётные числа на костях: 2, 4, 6.
Элементарные события для A:
- (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
- (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)
- (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
В итоге, \(A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}\)
Всего 18 элементарных событий.
2. **Событие B:** {во второй раз выпала пятёрка}
Для события B:
Элементарные события:
- (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)
Всего 6 элементарных событий.
3. **Событие C:** {в сумме на двух костях выпало десять}
Для события C (сумма = 10):
Элементарные события:
- (4,6), (5,5), (6,4)
Всего 3 элементарных события.
### Шаг 3: Пересечения событий
1. **Пересечение A и B (\(A \cap B\))**
Смотрим элементарные события A, имеющие пятёрку во втором броске:
- (2,5), (4,5), (6,5)
То есть \(A \cap B = \{(2,5), (4,5), (6,5)\}\).
Всего 3 элементарных события.
2. **Пересечение A и C (\(A \cap C\))**
Элементы из A, которые имеют сумму 10:
- (4,6), (6,4) (но только (4,6) попадает в A)
То есть \(A \cap C = \{(4,6)\}\).
Всего 1 элементарное событие.
3. **Пересечение B и C (\(B \cap C\))**
Элементы из B, которые имеют сумму 10:
- (5,5)
То есть \(B \cap C = \{(5,5)\}\).
Всего 1 элементарное событие.
4. **Пересечения всех трех событий (\(A \cap B \cap C\))**
Нет элементов, которые бы удовлетворяли всем трём условиям, поэтому:
\(A \cap B \cap C = \emptyset\).
### Шаг 4: Совместимость событий
- События A и B **несовместимы**, так как их пересечение не содержит элементарных событий.
- События A и C не являются несовместимыми, так как \(A \cap C\) не пусто (содержит событие (4,6)).
- События B и C не являются несовместимыми, так как \(B \cap C\) содержит событие (5,5).
- Событие \(A \cup B \cup C\) также не является несовместным, так как имеются общие элементы.
### Шаг 5: Вероятности событий
Общее количество элементарных исходов = 36.
1. **Вероятность A:**
\(P(A) = \frac{|A|}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}\)
2. **Вероятность B:**
\(P(B) = \frac{|B|}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
3. **Вероятность C:**
\(P(C) = \frac{|C|}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)
4. **Вероятность \(A \cap B\):**
\(P(A \cap B) = \frac{|A \cap B|}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)
5. **Вероятность \(A \cap C\):**
\(P(A \cap C) = \frac{|A \cap C|}{36} = \frac{1}{36}\)
6. **Вероятность \(B \cap C\):**
\(P(B \cap C) = \frac{|B \cap C|}{36} = \frac{1}{36}\)
### Заключение
Мы проанализировали элементы событий, пересечения и совместимость, а также вычислили вероятности каждого события и их пересечений.
Если у вас остались вопросы или требуется дополнительная информация, не стесняйтесь спрашивать!
