Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность объединения этих событий.

Для решения задачи, рассмотрим следующие определения и понятия, непременно проясняя все шаги. ### 1. Определяем события - **Событие A:** «в первый раз выпал орёл» - **Событие B:** «решка выпала дважды» ### 2. Определение независимости событий События A и B считаются независимыми, если выполнение одного из них не влияет на вероятностное выполнение другого. В математике это формулируется как: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] где: - \( P(A \cap B) \) — вероятность одновременного выполнения обоих событий. - \( P(A) \) и \( P(B) \) — вероятности событий A и B соответственно. ### 3. Вычисляем вероятности событий #### Вероятность события A Событие A означает, что первый бросок дает орла. В случае симметричной монеты вероятность того, что выпадает орел: \[ P(A) = \frac{1}{2} \] #### Вероятность события B Событие B означает, что в трех бросках монеты выпало 2 решки. Для этого случая удобно воспользоваться биномиальным распределением, где вероятность выпадения решки (обозначим ее как \( p \)): - \( p = \frac{1}{2} \) (выпадение решки). - \( q = \frac{1}{2} \) (выпадение орла). Общая формула биномиального распределения выглядит так: \[ P(B) = C(n,k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \] где: - \( n \) — общее количество бросков, - \( k \) — количество успехов (в нашем случае — решек), - \( C(n,k) \) — биномиальный коэффициент (число комбинаций). В нашем случае: \( n = 3 \) и \( k = 2 \). Таким образом, мы можем записать: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = 3 \] Поэтому вероятность события B: \[ P(B) = C(3, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2^3} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] ### 4. Вероятность одновременного выполнения событий A и B Теперь расчитаем \( P(A \cap B) \). Событие A уже произошла, значит, на первом броске мы получили орла. Теперь у нас два броска остаются для определения вероятности события B. Мы должны получить ровно 2 решки: - Возможно такие комбинации: "О, Р, Р" (где Р - решка). Вероятность события будет: Для двух оставшихся бросков (где вероятность решки также остается равной \( \frac{1}{2} \)): \[ P(B|A) = P(\text{Решка на обоих бросках}) = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}\] Теперь вычисляем \( P(A \cap B) \): \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \] ### 5. Проверяем независимость событий Теперь проверим, равны ли \( P(A \cap B) \) и \( P(A) \cdot P(B) \): \[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \] Так как \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \) и \( \frac{3}{16} \neq \frac{1}{8} \), следовательно: **События A и B не независимы.** ### 6. Вероятность объединения событий Для нахождения вероятности объединения событий A и B, используем формулу: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Подставляем все найденные значения: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \] Сначала приведем все к общему знаменателю (в данном случае 8): \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] ### Ответы a) События A и B не являются независимыми. b) Вероятность объединения событий A и B равна \( \frac{3}{4} \).