Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». а) Являются ли эти события независимыми? б) Найдите вероятность…

Для решения задачи, рассмотрим следующие определения и понятия, непременно проясняя все шаги.

1. Определяем события

• Событие A: «в первый раз выпал орёл»
• Событие B: «решка выпала дважды»

2. Определение независимости событий

События A и B считаются независимыми, если выполнение одного из них не влияет на вероятностное выполнение другого. В математике это формулируется как:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

где:

• \( P(A \cap B) \) — вероятность одновременного выполнения обоих событий.
• \( P(A) \) и \( P(B) \) — вероятности событий A и B соответственно.

3. Вычисляем вероятности событий

Вероятность события A

Событие A означает, что первый бросок дает орла. В случае симметричной монеты вероятность того, что выпадает орел:

\[ P(A) = \frac{1}{2} \]

Вероятность события B

Событие B означает, что в трех бросках монеты выпало 2 решки. Для этого случая удобно воспользоваться биномиальным распределением, где вероятность выпадения решки (обозначим ее как \( p \)):

• \( p = \frac{1}{2} \) (выпадение решки).
• \( q = \frac{1}{2} \) (выпадение орла).

Общая формула биномиального распределения выглядит так:

\[ P(B) = C(n,k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее количество бросков,
• \( k \) — количество успехов (в нашем случае — решек),
• \( C(n,k) \) — биномиальный коэффициент (число комбинаций).

В нашем случае: \( n = 3 \) и \( k = 2 \). Таким образом, мы можем записать:

\[ C(3, 2) = \frac{3!}{2! \cdot (3 - 2)!} = 3 \]

Поэтому вероятность события B:

\[ P(B) = C(3, 2) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3-2} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = 3 \cdot \frac{1}{2^3} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

4. Вероятность одновременного выполнения событий A и B

Теперь расчитаем \( P(A \cap B) \). Событие A уже произошла, значит, на первом броске мы получили орла. Теперь у нас два броска остаются для определения вероятности события B. Мы должны получить ровно 2 решки:

• Возможно такие комбинации: "О, Р, Р" (где Р - решка). Вероятность события будет:

Для двух оставшихся бросков (где вероятность решки также остается равной \( \frac{1}{2} \)):

\[ P(B|A) = P(\text{Решка на обоих бросках}) = \left(\frac{1}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}\]

Теперь вычисляем \( P(A \cap B) \):

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \]

5. Проверяем независимость событий

Теперь проверим, равны ли \( P(A \cap B) \) и \( P(A) \cdot P(B) \):

\[ P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \]

Так как \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \) и \( \frac{3}{16} \neq \frac{1}{8} \), следовательно:

События A и B не независимы.

6. Вероятность объединения событий

Для нахождения вероятности объединения событий A и B, используем формулу:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Подставляем все найденные значения:

\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \]

Сначала приведем все к общему знаменателю (в данном случае 8):

\[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Ответы

a) События A и B не являются независимыми.

b) Вероятность объединения событий A и B равна \( \frac{3}{4} \).