Чтобы найти длину векторов ( \mathbf{a}(3;7;-4) ) и ( \mathbf{b}(-2;0;8) ), воспользуемся формулой для длины (модуля) вектора в трехмерном пространстве. Длина вектора ( \mathbf{v}(x; y; z) ) рассчитывается по следующей формуле:
[
|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
]
Теперь применим эту формулу к каждому из векторов.
1. Длина вектора ( \mathbf{a}(3;7;-4) )
Сначала определим координаты вектора ( \mathbf{a} ):
- ( x = 3 )
- ( y = 7 )
- ( z = -4 )
Теперь подставим эти значения в формулу:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{3^2 + 7^2 + (-4)^2}
]
Посчитаем каждую часть:
[
3^2 = 9
]
[
7^2 = 49
]
[
(-4)^2 = 16
]
Теперь сложим результаты:
[
9 + 49 + 16 = 74
]
И найдем корень:
[
|\mathbf{a}| = \sqrt{74}
]
Приблизительное значение:
[
\sqrt{74} \approx 8.6
]
2. Длина вектора ( \mathbf{b}(-2;0;8) )
Теперь продолжаем с вектором ( \mathbf{b} ):
- ( x = -2 )
- ( y = 0 )
- ( z = 8 )
Подставим в формулу:
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 + 8^2}
]
Посчитаем:
[
(-2)^2 = 4
]
[
0^2 = 0
]
[
8^2 = 64
]
Теперь сложим результаты:
[
4 + 0 + 64 = 68
]
И найдем корень:
[
|\mathbf{b}| = \sqrt{68}
]
Приблизительное значение:
[
\sqrt{68} \approx 8.2
]
Итоги
- Длина вектора ( \mathbf{a} ) составляет ( \sqrt{74} \approx 8.6 )
- Длина вектора ( \mathbf{b} ) составляет ( \sqrt{68} \approx 8.2 )
Таким образом, мы нашли длины обоих векторов. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
