Решим задачу пошагово. Мы имеем прямоугольный треугольник, один из углов которого равен 60°. Обозначим гипотенузу за ( c ), меньший катет (который противолежит углу 60°) за ( a ), а больший катет (который противолежит углу 30°) за ( b ).
Из условия задачи известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см:
[
c + a = 26,4
]
Также, используя свойства прямоугольного треугольника с углом 60°, мы можем выразить катеты через гипотенузу. В данном случае:
Меньший катет ( a ) противолежит углу 60° и выражается как:
[
a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Больший катет ( b ) противолежит углу 30° и выражается как:
[
b = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2}
]
Теперь подставим выражение для меньшего катета ( a ) в уравнение ( c + a = 26,4 ):
[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26,4
]
Соберем все члены с ( c ) в одном месте:
[
c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26,4
]
Теперь нам нужно вычислить ( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Приблизительное значение ( \sqrt{3} ) равно около 1.732:
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1 + \frac{1.732}{2} \approx 1 + 0.866 = 1.866
]
Теперь подставим это значение в уравнение:
[
c \cdot 1.866 = 26,4
]
Теперь решаем для ( c ):
[
c = \frac{26,4}{1.866} \approx 14,16
]
Таким образом, гипотенуза ( c ) треугольника составляет примерно 14,16 см.
Ответ:
Гипотенуза треугольника равна примерно 14,16 см.
