Чтобы решить эту задачу, начнем с определения характеристик правильного треугольника и его окружности.
Шаг 1: Формулы
Для правильного треугольника, радиус описанной окружности ( R ) связан со стороной треугольника ( a ) следующей формулой:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Шаг 2: Найти сторону треугольника
У нас дан радиус описанной окружности:
[
R = 7 , \text{см}
]
Подставим это значение в формулу:
[
7 = \frac{a}{\sqrt{3}}
]
Теперь найдем сторону ( a ):
[
a = 7 \cdot \sqrt{3}
]
Приблизительно:
[
a \approx 7 \cdot 1.732 \approx 12.124 , \text{см}
]
Шаг 3: Найти периметр треугольника
Периметр ( P ) правильного треугольника можно найти по формуле:
[
P = 3a
]
Теперь подставим значение ( a ):
[
P = 3 \cdot (7 \cdot \sqrt{3}) = 21 \cdot \sqrt{3}
]
Приблизительно это:
[
P \approx 21 \cdot 1.732 \approx 36.872 , \text{см}
]
Шаг 4: Найти площадь треугольника
Площадь ( S ) правильного треугольника рассчитывается по формуле:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим найденное значение ( a ):
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} (7\sqrt{3})^2
]
Сначала найдем ( (7\sqrt{3})^2 ):
[
(7\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147
]
Теперь подставим значение в формулу площади:
[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 147 = \frac{147\sqrt{3}}{4}
]
Приблизительно:
[
S \approx \frac{147 \cdot 1.732}{4} \approx \frac{254.484}{4} \approx 63.621 , \text{см}^2
]
Ответ
- Периметр треугольника ( P \approx 36.872 , \text{см} )
- Площадь треугольника ( S \approx 63.621 , \text{см}^2 )
Таким образом, мы нашли периметр и площадь правильного треугольника с радиусом описанной окружности 7 см.
