Радиус описанной окружности около правильного треугольника равен 7см. Найти периметр треугольника. Найти площадь треугольника.
Чтобы решить эту задачу, начнем с определения характеристик правильного треугольника и его окружности.
Шаг 1: Формулы
Для правильного треугольника, радиус описанной окружности \( R \) связан со стороной треугольника \( a \) следующей формулой:
\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
Шаг 2: Найти сторону треугольника
У нас дан радиус описанной окружности:
\[ R = 7 \, \text{см} \]
Подставим это значение в формулу:
\[ 7 = \frac{a}{\sqrt{3}} \]
Теперь найдем сторону \( a \):
\[ a = 7 \cdot \sqrt{3} \]
Приблизительно:
\[ a \approx 7 \cdot 1.732 \approx 12.124 \, \text{см} \]
Шаг 3: Найти периметр треугольника
Периметр \( P \) правильного треугольника можно найти по формуле:
\[ P = 3a \]
Теперь подставим значение \( a \):
\[ P = 3 \cdot (7 \cdot \sqrt{3}) = 21 \cdot \sqrt{3} \]
Приблизительно это:
\[ P \approx 21 \cdot 1.732 \approx 36.872 \, \text{см} \]
Шаг 4: Найти площадь треугольника
Площадь \( S \) правильного треугольника рассчитывается по формуле:
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]
Подставим найденное значение \( a \):
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (7\sqrt{3})^2 \]
Сначала найдем \( (7\sqrt{3})^2 \):
\[ (7\sqrt{3})^2 = 49 \cdot 3 = 147 \]
Теперь подставим значение в формулу площади:
\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 147 = \frac{147\sqrt{3}}{4} \]
Приблизительно:
\[ S \approx \frac{147 \cdot 1.732}{4} \approx \frac{254.484}{4} \approx 63.621 \, \text{см}^2 \]
Ответ
- Периметр треугольника \( P \approx 36.872 \, \text{см} \)
- Площадь треугольника \( S \approx 63.621 \, \text{см}^2 \)
Таким образом, мы нашли периметр и площадь правильного треугольника с радиусом описанной окружности 7 см.
