Для решения задачи давайте рассмотрим её пошагово. Мы используем свойства вероятностей для независимых событий.
Дано:
- Вероятность попадания в ворота за одну попытку: ( p = 0,4 )
- Вероятность промаха за одну попытку: ( q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6 )
- Необходимо найти минимальное количество попыток ( n ), чтобы вероятность хотя бы одного попадания в ворота была не менее ( 0,9 ).
Шаг 1: Выразим вероятность хотя бы одного попадания
Вероятность хотя бы одного попадания в ворота из ( n ) попыток можно выразить через вероятность промаха во всех ( n ) попытках:
[
P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{промах во всех попытках})
]
Вероятность промаха во всех ( n ) попытках:
[
P(\text{промах во всех}) = q^n = (0,6)^n
]
Итак,
[
P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - (0,6)^n
]
Шаг 2: Установим неравенство
Нам нужно, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была не менее ( 0,9 ):
[
1 - (0,6)^n \geq 0,9
]
Шаг 3: Преобразуем неравенство
Перепишем это неравенство:
[
(0,6)^n \leq 0,1
]
Шаг 4: Логарифмирование
Чтобы решить это неравенство, применим логарифмы:
[
\log((0,6)^n) \leq \log(0,1)
]
[
n \cdot \log(0,6) \leq \log(0,1)
]
Поскольку логарифм числа меньше 1 будет отрицательным, мы можем разделить обе стороны на ( \log(0,6) ), изменив знак неравенства:
[
n \geq \frac{\log(0,1)}{\log(0,6)}
]
Шаг 5: Вычислим значения логарифмов
- ( \log(0,1) = -1 ) (в десятичном логарифме)
- ( \log(0,6) \approx -0,2218 )
Теперь подставим значения:
[
n \geq \frac{-1}{-0,2218} \approx 4,51
]
Шаг 6: Округление
Так как ( n ) должно быть целым числом, округляем ( 4,51 ) до большего целого числа:
[
n = 5
]
Ответ:
Миша должен сделать не менее 5 попыток, чтобы попасть в ворота с вероятностью не менее 0,9.
