5. Миша пинает мяч по воротам до тех пор, пока не попадёт в них. Известно, что он попадает в ворота с вероятностью 0,4 при каждой отдельной попытке. Сколько попыток нужно сделать…

Для решения задачи давайте рассмотрим её пошагово. Мы используем свойства вероятностей для независимых событий.

Дано:

• Вероятность попадания в ворота за одну попытку: \( p = 0,4 \)
• Вероятность промаха за одну попытку: \( q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6 \)
• Необходимо найти минимальное количество попыток \( n \), чтобы вероятность хотя бы одного попадания в ворота была не менее \( 0,9 \).

Шаг 1: Выразим вероятность хотя бы одного попадания

Вероятность хотя бы одного попадания в ворота из \( n \) попыток можно выразить через вероятность промаха во всех \( n \) попытках: \[ P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - P(\text{промах во всех попытках}) \] Вероятность промаха во всех \( n \) попытках: \[ P(\text{промах во всех}) = q^n = (0,6)^n \] Итак, \[ P(\text{хотя бы одно попадание}) = 1 - (0,6)^n \]

Шаг 2: Установим неравенство

Нам нужно, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была не менее \( 0,9 \): \[ 1 - (0,6)^n \geq 0,9 \]

Шаг 3: Преобразуем неравенство

Перепишем это неравенство: \[ (0,6)^n \leq 0,1 \]

Шаг 4: Логарифмирование

Чтобы решить это неравенство, применим логарифмы: \[ \log((0,6)^n) \leq \log(0,1) \] \[ n \cdot \log(0,6) \leq \log(0,1) \] Поскольку логарифм числа меньше 1 будет отрицательным, мы можем разделить обе стороны на \( \log(0,6) \), изменив знак неравенства: \[ n \geq \frac{\log(0,1)}{\log(0,6)} \]

Шаг 5: Вычислим значения логарифмов

• \( \log(0,1) = -1 \) (в десятичном логарифме)
• \( \log(0,6) \approx -0,2218 \)

Теперь подставим значения: \[ n \geq \frac{-1}{-0,2218} \approx 4,51 \]

Шаг 6: Округление

Так как \( n \) должно быть целым числом, округляем \( 4,51 \) до большего целого числа: \[ n = 5 \]

Ответ:

Миша должен сделать не менее 5 попыток, чтобы попасть в ворота с вероятностью не менее 0,9.