решите систему уравнений методом подстановки 3x=5y -3x+8y=13
Давайте решим систему уравнений методом подстановки. Дана система:
- \( 3x = 5y \) (уравнение 1)
- \( -3x + 8y = 13 \) (уравнение 2)
Шаг 1: Изолируем одно переменное
Начнем с первого уравнения. Мы можем выразить \( y \) через \( x \). Для этого преобразуем уравнение 1:
\[ 3x = 5y \]
Разделим обе стороны на 5:
\[ y = \frac{3x}{5} \]
Шаг 2: Подставляем найденное значение в другое уравнение
Теперь, когда мы выразили \( y \) через \( x \), мы можем подставить это значение во второе уравнение (уравнение 2):
\[ -3x + 8y = 13 \]
Подставим \( y = \frac{3x}{5} \):
\[ -3x + 8\left(\frac{3x}{5}\right) = 13 \]
Шаг 3: Упрощаем уравнение
Теперь упростим это уравнение:
\[ -3x + \frac{24x}{5} = 13 \]
Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 5 (это позволит нам работать с целыми числами):
\[ 5(-3x) + 24x = 5 \cdot 13 \]
Это дает:
\[ -15x + 24x = 65 \]
Упрощаем:
\[ 9x = 65 \]
Шаг 4: Находим значение \( x \)
Теперь найдем \( x \):
\[ x = \frac{65}{9} \approx 7.22 \]
Шаг 5: Подставляем значение обратно, чтобы найти \( y \)
Теперь подставим \( x \) в выражение для \( y \):
\[ y = \frac{3x}{5} = \frac{3 \cdot \frac{65}{9}}{5} = \frac{195}{45} = \frac{13}{3} \approx 4.33 \]
Ответ
Таким образом, мы получили:
\[ x = \frac{65}{9}, \quad y = \frac{13}{3} \]
Проверка
Чтобы убедиться, что мы правильно решили систему, мы можем подставить найденные значения \( x \) и \( y \) в оба уравнения и проверить, выполняются ли они.
- Для первого уравнения \( 3x = 5y \):
- Левое: \( 3 \cdot \frac{65}{9} = \frac{195}{9} \)
- Правое: \( 5 \cdot \frac{13}{3} = \frac{65}{3} = \frac{195}{9} \)
Оба значения равны, уравнение 1 выполнено.
- Для второго уравнения \( -3x + 8y = 13 \):
- Левое: \( -3 \cdot \frac{65}{9} + 8 \cdot \frac{13}{3} = -\frac{195}{9} + \frac{104}{3} \) \[ = -\frac{195}{9} + \frac{312}{9} = \frac{117}{9} \] и \( \frac{117}{9} = 13 \), что также верно.
Обе проверки подтверждают правильность решения.
Итак, ответ:
\[ x = \frac{65}{9}, \quad y = \frac{13}{3} \]
