Решим задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти количество деталей, которое делает второй рабочий за час.
Шаг 1: Обозначение переменных
Давайте обозначим количество деталей, которое делает второй рабочий за час, как ( x ). Тогда первый рабочий, который делает на 12 деталей больше, будет делать ( x + 12 ) деталей за час.
Шаг 2: Определение времени выполнения заказа
Согласно условию, первый рабочий выполняет заказ, состоящий из 90 деталей, на 2 часа быстрее, чем второй рабочий. Вспомним, что время выполнения работы можно вычислить по формуле:
[
\text{Время} = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Скорость работы}}
]
Шаг 3: Время выполнения заказа первым рабочим
Первый рабочий, который делает ( x + 12 ) деталей за час, выполнит заказ из 90 деталей за время:
[
t_1 = \frac{90}{x + 12}
]
Шаг 4: Время выполнения заказа вторым рабочим
Второй рабочий делает ( x ) деталей за час, соответственно, он выполнит тот же заказ за время:
[
t_2 = \frac{90}{x}
]
Шаг 5: Запись уравнения на основе условия
Согласно условию, первый рабочий делает заказ на 2 часа быстрее, чем второй:
[
t_2 = t_1 + 2
]
Подставляя выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{90}{x} = \frac{90}{x + 12} + 2
]
Шаг 6: Решение уравнения
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны уравнения на ( x(x + 12) ) (чтобы избавиться от дробей):
[
90(x + 12) = 90x + 2x(x + 12)
]
Раскроем скобки:
[
90x + 1080 = 90x + 2x^2 + 24x
]
Сократив ( 90x ) с обеих сторон, получаем:
[
1080 = 2x^2 + 24x
]
Шаг 7: Приведение уравнения к стандартному виду
Приведем уравнение к стандартному виду:
[
2x^2 + 24x - 1080 = 0
]
Разделим все на 2, чтобы упростить уравнение:
[
x^2 + 12x - 540 = 0
]
Шаг 8: Решение квадратного уравнения
Теперь используем формулу дискриминанта для решения квадратного уравнения:
[
D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 144 + 2160 = 2304
]
Теперь находим корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{2304}}{2}
]
Вычислим ( \sqrt{2304} = 48 ):
[
x = \frac{-12 \pm 48}{2}
]
Это дает два решения:
- ( x = \frac{36}{2} = 18 )
- ( x = \frac{-60}{2} = -30 ) (Игнорируем, так как количество деталей не может быть отрицательным)
Ответ
Таким образом, второй рабочий делает 18 деталей в час.
