В треугольнике  M N K MNK  ∠ M = 90 ° ∠M=90°,  ∠ N = 60 ° ∠N=60°,  M K = 6 3 MK=6 3 ​ . Чему равна сторона  M N MN?

Для решения задачи о треугольнике \(MNK\), в котором угол \(M\) равен \(90^\circ\) и угол \(N\) равен \(60^\circ\), давайте начнем с определения, какие данные мы имеем и какие свойства треугольника нам могут помочь. 1. **Информация о треугольнике**: - Угол \(M = 90^\circ\) (треугольник прямоугольный) - Угол \(N = 60^\circ\) - Сторона \(MK = 6\) (противолежащая сторона углу \(N\)) 2. **Нахождение угла \(K\)**: Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), следовательно: \[ \angle N + \angle M + \angle K = 180^\circ \] Подставим известные углы: \[ 60^\circ + 90^\circ + \angle K = 180^\circ \] \[ \angle K = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \] 3. **Используем тригонометрию для определения стороны \(MN\)**: В нашем треугольнике теперь известны все углы: \[ \angle M = 90^\circ, \quad \angle N = 60^\circ, \quad \angle K = 30^\circ \] Мы можем воспользоваться отношениями в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим сторону \(MN\): - В треугольнике \(MK\) мы знаем, что \(MK\) противоположная сторона для угла \(N\), а \(MN\) — противоположная для угла \(K\). Используем отношение синусов (по определению): \[ \frac{MN}{MK} = \frac{\sin N}{\sin M} \] Подставим значения: Для угол \(N = 60^\circ\): \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Для угол \(M = 90^\circ\): \[ \sin 90^\circ = 1 \] Теперь находим сторону \(MN\): \[ \frac{MN}{6} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} \] Умножим обе стороны на \(6\): \[ MN = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \] Таким образом, длина стороны \(MN\) равна \(3\sqrt{3}\).