В треугольнике M N K MNK ∠ M = 90 ° ∠M=90° , ∠ N = 60 ° ∠N=60° , M K = 6 3 MK=6 3 . Чему равна сторона M N MN ?
Для решения задачи о треугольнике \(MNK\), в котором угол \(M\) равен \(90^\circ\) и угол \(N\) равен \(60^\circ\), давайте начнем с определения, какие данные мы имеем и какие свойства треугольника нам могут помочь.
Информация о треугольнике:
- Угол \(M = 90^\circ\) (треугольник прямоугольный)
- Угол \(N = 60^\circ\)
- Сторона \(MK = 6\) (противолежащая сторона углу \(N\))
Нахождение угла \(K\): Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), следовательно:
\[ \angle N + \angle M + \angle K = 180^\circ \]
Подставим известные углы:
\[ 60^\circ + 90^\circ + \angle K = 180^\circ \]
\[ \angle K = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]
Используем тригонометрию для определения стороны \(MN\): В нашем треугольнике теперь известны все углы:
\[ \angle M = 90^\circ, \quad \angle N = 60^\circ, \quad \angle K = 30^\circ \]
Мы можем воспользоваться отношениями в прямоугольном треугольнике. Рассмотрим сторону \(MN\):
- В треугольнике \(MK\) мы знаем, что \(MK\) противоположная сторона для угла \(N\), а \(MN\) — противоположная для угла \(K\).
Используем отношение синусов (по определению):
\[ \frac{MN}{MK} = \frac{\sin N}{\sin M} \]
Подставим значения:
Для угол \(N = 60^\circ\): \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Для угол \(M = 90^\circ\): \[ \sin 90^\circ = 1 \]
Теперь находим сторону \(MN\):
\[ \frac{MN}{6} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} \]
Умножим обе стороны на \(6\):
\[ MN = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]
Таким образом, длина стороны \(MN\) равна \(3\sqrt{3}\).
