равно
Давайте решим задачу. Нам нужно найти натуральное число \( n \), при котором выражение
\[ \sqrt{4 + \sqrt{n}} + \sqrt{4 - \sqrt{n}} \]
становится целым числом.
Для удобства, обозначим:
\[ a = \sqrt{4 + \sqrt{n}} \quad \text{и} \quad b = \sqrt{4 - \sqrt{n}} \]
Таким образом, \( a + b \) должно быть целым числом.
Рассмотрим уравнения для \( a \) и \( b \):
\[ a^2 = 4 + \sqrt{n} \] \[ b^2 = 4 - \sqrt{n} \]
Сложим эти уравнения:
\[ a^2 + b^2 = (4 + \sqrt{n}) + (4 - \sqrt{n}) = 8 \]
Заметим, что \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \):
Из предыдущего пункта: \[ (a+b)^2 = 8 + 2ab \]
Значит, важно найти \( ab \).
Теперь выразим \( ab \):
\[ ab = \sqrt{(4+\sqrt{n})(4-\sqrt{n})} = \sqrt{16 - n} \]
Подставим в формулу \( (a+b)^2: \)
\[ (a+b)^2 = 8 + 2\sqrt{16-n} \]
Чтобы \( a + b \) было целым числом, \( 2\sqrt{16-n} \) должна быть целым числом, то есть \( \sqrt{16-n} \) должно быть равно \( k/2 \), где \( k \) — целое число. В то же время \( 16 - n \) должно быть идеальным квадратом, пусть это будет \( k^2 \).
Решаем уравнение \( 16 - n = k^2 \):
Следовательно: \[ n = 16 - k^2 \]
\( n \) должно быть натуральным числом, значит \( 16 > k^2 \).
Определяем возможные значения \( k \):
Поскольку \( k \) может быть от 0 до 3 (т.к. \( 3^2 = 9 < 16 \)), рассмотрим подходящие значения.
- \( k = 0 \), тогда \( n = 16 \).
- \( k = 1 \), тогда \( n = 16 - 1 = 15 \).
- \( k = 2 \), тогда \( n = 16 - 4 = 12 \).
- \( k = 3 \), тогда \( n = 16 - 9 = 7 \).
Проверим каждое значение:
- Для \( n = 12 \), \( ab = 2 \) и \( a + b = 4 \), это целое число.
Таким образом, при \( n = 12 \), выражение является целым числом. Ответ: \( n = 12 \).
