Равно

Давайте решим задачу. Нам нужно найти натуральное число \( n \), при котором выражение \[ \sqrt{4 + \sqrt{n}} + \sqrt{4 - \sqrt{n}} \] становится целым числом. Для удобства, обозначим: \[ a = \sqrt{4 + \sqrt{n}} \quad \text{и} \quad b = \sqrt{4 - \sqrt{n}} \] Таким образом, \( a + b \) должно быть целым числом. 1. **Рассмотрим уравнения для \( a \) и \( b \):** \[ a^2 = 4 + \sqrt{n} \] \[ b^2 = 4 - \sqrt{n} \] 2. **Сложим эти уравнения:** \[ a^2 + b^2 = (4 + \sqrt{n}) + (4 - \sqrt{n}) = 8 \] 3. **Заметим, что \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \):** Из предыдущего пункта: \[ (a+b)^2 = 8 + 2ab \] Значит, важно найти \( ab \). 4. **Теперь выразим \( ab \):** \[ ab = \sqrt{(4+\sqrt{n})(4-\sqrt{n})} = \sqrt{16 - n} \] 5. **Подставим в формулу \( (a+b)^2: \)** \[ (a+b)^2 = 8 + 2\sqrt{16-n} \] Чтобы \( a + b \) было целым числом, \( 2\sqrt{16-n} \) должна быть целым числом, то есть \( \sqrt{16-n} \) должно быть равно \( k/2 \), где \( k \) — целое число. В то же время \( 16 - n \) должно быть идеальным квадратом, пусть это будет \( k^2 \). 6. **Решаем уравнение \( 16 - n = k^2 \):** Следовательно: \[ n = 16 - k^2 \] \( n \) должно быть натуральным числом, значит \( 16 > k^2 \). 7. **Определяем возможные значения \( k \):** Поскольку \( k \) может быть от 0 до 3 (т.к. \( 3^2 = 9 < 16 \)), рассмотрим подходящие значения. - \( k = 0 \), тогда \( n = 16 \). - \( k = 1 \), тогда \( n = 16 - 1 = 15 \). - \( k = 2 \), тогда \( n = 16 - 4 = 12 \). - \( k = 3 \), тогда \( n = 16 - 9 = 7 \). Проверим каждое значение: - Для \( n = 12 \), \( ab = 2 \) и \( a + b = 4 \), это целое число. Таким образом, при \( n = 12 \), выражение является целым числом. Ответ: \( n = 12 \).