1.Дана точка А(1; 1). Найдите координаты вектора АА. 2.Даны точки А(1; 1) и В(6; 13). Найдите координаты вектора ВА. 3.Даны координаты точки В(1; -1) и вектора АВ (6; 13). Найдите…
1.Дана точка А(1; 1). Найдите координаты вектора АА. 2.Даны точки А(1; 1) и В(6; 13). Найдите координаты вектора ВА. 3.Даны координаты точки В(1; -1) и вектора АВ (6; 13). Найдите координаты точки А. 4.Даны координаты точек А(3; 1), В(9; 4) и С(7; -7) параллелограмма ABCD. Найдите координаты точки D. 5.Даны координаты точек A(1; -1), В(7; 2) и С(5; -9). Найдите координаты точки D такой, что векторы АВ и CD равны.
Давайте решим каждую из указанных задач по порядку, обосновывая каждое решение.
Задача 1: Найдите координаты вектора AA
Дано: Точка \( A(1; 1) \).
Решение: Вектор \( AA \) — это вектор, направление и координаты которого идут от точки \( A \) к точке \( A \) (то есть от самой себя к самой себе).
Формула для нахождения вектора \( AB \) от точки \( A(x_1, y_1) \) к точке \( B(x_2, y_2) \):
\[ \vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1) \]
В нашем случае:
\[ \vec{AA} = (1 - 1, 1 - 1) = (0, 0) \]
Ответ: Координаты вектора \( AA \) равны \( (0; 0) \).
Задача 2: Найдите координаты вектора BA
Дано: Точки \( A(1; 1) \) и \( B(6; 13) \).
Решение: Используем ту же формулу:
\[ \vec{BA} = (x_A - x_B, y_A - y_B) \]
Подставим значения:
\[ \vec{BA} = (1 - 6, 1 - 13) = (-5, -12) \]
Ответ: Координаты вектора \( BA \) равны \( (-5; -12) \).
Задача 3: Найдите координаты точки A
Дано: Точка \( B(1; -1) \) и вектор \( AB(6; 13) \).
Решение: Используем формулу вектора, которая связывает точки \( A \) и \( B \):
\[ \vec{AB} = (x_A - x_B, y_A - y_B) \]
Если \( \vec{AB} = (6, 13) \) и точка \( B(1; -1) \), то можем записать:
\[ (6, 13) = (x_A - 1, y_A + 1) \]
Таким образом, получаем систему уравнений:
- \( x_A - 1 = 6 \)
- \( y_A + 1 = 13 \)
Решим эти уравнения:
- \( x_A = 6 + 1 = 7 \)
- \( y_A = 13 - 1 = 12 \)
Ответ: Координаты точки \( A \) равны \( (7; 12) \).
Задача 4: Найдите координаты точки D
Дано: Точки \( A(3; 1) \), \( B(9; 4) \) и \( C(7; -7) \) параллелограмма \( ABCD \).
Решение: В параллелограмме противолежащие стороны равны и параллельны. Можно использовать свойство, что векторы \( \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC} \).
Сначала найдем вектор \( \vec{AB} \):
\[ \vec{AB} = (9 - 3, 4 - 1) = (6, 3) \]
Теперь можем записать координаты точки \( D \):
\[ \vec{AD} = \vec{AC} - \vec{AB} \]
Сначала найдем вектор \( \vec{AC} \):
\[ \vec{AC} = (7 - 3, -7 - 1) = (4, -8) \]
Теперь найдем \( \vec{AD} \):
\[ \vec{AD} = (4, -8) - (6, 3) = (-2, -11) \]
Зная координаты точки \( A(3; 1) \):
\[ D = (x_A + (-2), y_A + (-11)) = (3 - 2, 1 - 11) = (1, -10) \]
Ответ: Координаты точки \( D \) равны \( (1; -10) \).
Задача 5: Найдите координаты точки D
Дано: Точки \( A(1; -1) \), \( B(7; 2) \) и \( C(5; -9) \). Вектора \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) равны.
Решение: Сначала находим вектор \( \vec{AB} \):
\[ \vec{AB} = (7 - 1, 2 + 1) = (6, 3) \]
Так как \( \vec{AB} = \vec{CD} \), можно записать вектор \( \vec{CD} \):
\[ \vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (6, 3) \]
Подставляем координаты точки \( C(5; -9) \):
\[ (x_D - 5, y_D + 9) = (6, 3) \]
Получаем систему уравнений:
- \( x_D - 5 = 6 \)
- \( y_D + 9 = 3 \)
Решим:
- \( x_D = 6 + 5 = 11 \)
- \( y_D = 3 - 9 = -6 \)
Ответ: Координаты точки \( D \) равны \( (11; -6) \).
