Даны векторы n → n ( 1 , 1 ; − 5 ) (1,1;−5) и m → m ( − 2 , 25 ; − 2 ) (−2,25;−2) . Найди скалярное произведение векторов 2 2 ⋅ ⋅ n → n и 4 4 ⋅ ⋅ m → m .
Чтобы найти скалярное произведение векторов, следуем шагам:
Шаг 1: Определение векторов
У нас есть два вектора:
- Вектор \( \vec{n} = (1, 1, -5) \)
- Вектор \( \vec{m} = (-2, 25, -2) \)
Шаг 2: Умножение векторов на заданные коэффициенты
В задаче указано, что мы должны умножить вектор \( \vec{n} \) на 2 и вектор \( \vec{m} \) на 4:
Умножим вектор \( \vec{n} \) на 2: \[ 2 \cdot \vec{n} = 2 \cdot (1, 1, -5) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1, 2 \cdot -5) = (2, 2, -10) \]
Умножим вектор \( \vec{m} \) на 4: \[ 4 \cdot \vec{m} = 4 \cdot (-2, 25, -2) = (4 \cdot -2, 4 \cdot 25, 4 \cdot -2) = (-8, 100, -8) \]
Шаг 3: Скалярное произведение
Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) вычисляется по формуле:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \]
Теперь подставим наши векторы \( 2 \cdot \vec{n} \) и \( 4 \cdot \vec{m} \):
\[ (2, 2, -10) \cdot (-8, 100, -8) = 2 \cdot (-8) + 2 \cdot 100 + (-10) \cdot (-8) \]
Шаг 4: Вычисления
Теперь вычислим каждую из составляющих:
- \( 2 \cdot (-8) = -16 \)
- \( 2 \cdot 100 = 200 \)
- \( (-10) \cdot (-8) = 80 \)
Теперь сложим результаты:
\[ -16 + 200 + 80 \]
Шаг 5: Подведение итогов
Теперь сложим все числа:
\[ -16 + 200 = 184 \] \[ 184 + 80 = 264 \]
Ответ
Скалярное произведение векторов \( 2 \cdot \vec{n} \) и \( 4 \cdot \vec{m} \) равно 264.
