Реши все

Для решения задач из изображения давайте разберем каждую по отдельности.

1. Вычислите наиболее рациональным способом:

\[ \frac{18^3 - 3^4}{152 + 186 \cdot 34} \]

Посчитаем числитель и знаменатель отдельно.

• Числитель: \(18^3 - 3^4\)

  \(18^3 = 18 \times 18 \times 18 = 5832\)

  \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)

  Разность: \(5832 - 81 = 5751\)

• Знаменатель: \(152 + 186 \cdot 34\)

  Посчитаем произведение:

  \(186 \times 34 = 6324\)

  Сложим:

  \(152 + 6324 = 6476\)

Теперь вычислим дробь:

\[ \frac{5751}{6476} \]

Упрощение дроби потребует нахождения наибольшего общего делителя (НОД). Применяя метод Евклида, получим:

\(НОД(5751, 6476) = 1\)

Дробь \(\frac{5751}{6476}\) уже несократимая.

Таким образом, ответ: \(\frac{5751}{6476}\).

---

2. Разложите многочлен на множители:

а) \(16a^3 + 54b^3\)

Это сумма кубов. Применим формулу:

\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Тогда:

\[ 16a^3 + 54b^3 = (2a)^3 + (3b)^3 \]

Разложение:

\[ (2a + 3b)((2a)^2 - 2a \cdot 3b + (3b)^2) = (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) \]

б) \(2x^2 + 8x + 16 - 3xy - 12y\)

Сгруппируем и вынесем общий множитель:

\( (2x^2 + 8x) + (16 - 3xy - 12y) \)

Вынесем общий множитель:

\( 2x(x + 4) - 3y(x + 4) \)

Получим:

\( (2x - 3y)(x + 4) \)

в) \(a^2 + 2ab + b^2 + 4a + 4b + 4\)

Перепишем, сгруппировав:

\( (a^2 + 2ab + b^2) + (4a + 4b + 4) \)

Первое: \((a + b)^2\)

Второе: \(4(a + b + 1)\)

Получим:

\( (a + b)^2 + 4(a + b + 1) = ((a + b) + 2)^2 \)

---

3. Упростите выражение:

\[ (x + 1)(x - 2) - x(x + 3) \]

Раскроем скобки:

\[ (x^2 - 2x + x - 2) - (x^2 + 3x) \]

Соберем и упростим:

\[ x^2 - x - 2 - x^2 - 3x = -4x - 2 \]

Ответ: \(-4x - 2\).

---

4. Найдите эти числа, если разности квадратов неотрицательны:

Пусть последовательные числа — \(n\) и \(n+1\).

Разность квадратов:

\((n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1\)

Условие неотрицательности:

\(2n + 1 \geq 0\)

Значит:

\(n \geq -0.5\)

Так как \(n\) — натуральное число, то \(n \geq 1\).

Ответ: последовательные числа начинаются с 1 и далее.