Реши все

Для решения задач из изображения давайте разберем каждую по отдельности. **1. Вычислите наиболее рациональным способом:** \[ \frac{18^3 - 3^4}{152 + 186 \cdot 34} \] Посчитаем числитель и знаменатель отдельно. - Числитель: \(18^3 - 3^4\) \(18^3 = 18 \times 18 \times 18 = 5832\) \(3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\) Разность: \(5832 - 81 = 5751\) - Знаменатель: \(152 + 186 \cdot 34\) Посчитаем произведение: \(186 \times 34 = 6324\) Сложим: \(152 + 6324 = 6476\) Теперь вычислим дробь: \[ \frac{5751}{6476} \] Упрощение дроби потребует нахождения наибольшего общего делителя (НОД). Применяя метод Евклида, получим: \(НОД(5751, 6476) = 1\) Дробь \(\frac{5751}{6476}\) уже несократимая. Таким образом, ответ: \(\frac{5751}{6476}\). --- **2. Разложите многочлен на множители:** а) \(16a^3 + 54b^3\) Это сумма кубов. Применим формулу: \[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \] Тогда: \[ 16a^3 + 54b^3 = (2a)^3 + (3b)^3 \] Разложение: \[ (2a + 3b)((2a)^2 - 2a \cdot 3b + (3b)^2) = (2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2) \] б) \(2x^2 + 8x + 16 - 3xy - 12y\) Сгруппируем и вынесем общий множитель: \( (2x^2 + 8x) + (16 - 3xy - 12y) \) Вынесем общий множитель: \( 2x(x + 4) - 3y(x + 4) \) Получим: \( (2x - 3y)(x + 4) \) в) \(a^2 + 2ab + b^2 + 4a + 4b + 4\) Перепишем, сгруппировав: \( (a^2 + 2ab + b^2) + (4a + 4b + 4) \) Первое: \((a + b)^2\) Второе: \(4(a + b + 1)\) Получим: \( (a + b)^2 + 4(a + b + 1) = ((a + b) + 2)^2 \) --- **3. Упростите выражение:** \[ (x + 1)(x - 2) - x(x + 3) \] Раскроем скобки: \[ (x^2 - 2x + x - 2) - (x^2 + 3x) \] Соберем и упростим: \[ x^2 - x - 2 - x^2 - 3x = -4x - 2 \] Ответ: \(-4x - 2\). --- **4. Найдите эти числа, если разности квадратов неотрицательны:** Пусть последовательные числа — \(n\) и \(n+1\). Разность квадратов: \((n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1\) Условие неотрицательности: \(2n + 1 \geq 0\) Значит: \(n \geq -0.5\) Так как \(n\) — натуральное число, то \(n \geq 1\). Ответ: последовательные числа начинаются с 1 и далее.