Найдите ту первообразную функции f(x) - 4х + 7, график которой касается оси абсцисс.
Для того чтобы найти первообразную функции \( f(x) = -4x + 7 \), необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем задачу поэтапно.
Шаг 1: Найти первообразную функции
Первообразная функции \( f(x) \) – это функция \( F(x) \), производная которой равна \( f(x) \). Для функции \( f(x) = -4x + 7 \) мы можем использовать правило интегрирования:
\[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (-4x + 7) \, dx \]
Теперь сделаем интегрирование по частям:
Интегрируем \( -4x \): \[ \int -4x \, dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2 \]
Интегрируем \( 7 \): \[ \int 7 \, dx = 7x \]
Теперь сложим результаты:
\[ F(x) = -2x^2 + 7x + C \]
где \( C \) – произвольная константа.
Шаг 2: Найти точку касания с осью абсцисс
График функции касается оси абсцисс в точках, где функция равна нулю. Это значит, что мы должны решить уравнение:
\[ F(x) = 0 \]
Подставляем выражение для первообразной:
\[ -2x^2 + 7x + C = 0 \]
Чтобы график касался оси абсцисс, данное квадратное уравнение должно иметь ровно одно решение. Это возможно, если дискриминант равен нулю. Дискриминант \( D \) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) вычисляется как:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = -2 \), \( b = 7 \), \( c = C \):
\[ D = 7^2 - 4 \cdot (-2) \cdot C = 49 + 8C \]
Теперь, чтобы уравнение имело одно решение, приравняем дискриминант к нулю:
\[ 49 + 8C = 0 \]
Шаг 3: Найти значение \( C \)
Решаем это уравнение для \( C \):
\[ 8C = -49 \] \[ C = -\frac{49}{8} \]
Заключение
Таким образом, первообразная функции \( f(x) \) таком случае будет:
\[ F(x) = -2x^2 + 7x - \frac{49}{8} \]
Эта функция касается оси абсцисс при \( C = -\frac{49}{8} \).
Теперь вы знаете, как найти первообразную функции и определить константу, при которой график касается оси абсцисс!
