y=2+x^2/x монотонность экстремумы перегибы

Рассмотрим данную функцию \( y = \frac{2 + x^2}{x} \), для анализа ее монотонности, экстремумов и перегибов.

Шаг 1: Упростим функцию

Чтобы упростить функцию, разобьем ее на две части: \[ y = \frac{2}{x} + x \]

Шаг 2: Нахождение производной

Для исследования монотонности функции найдем ее первую производную \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x} + x \right) \]

Помним, что производная \( \frac{2}{x} \) равна \( -\frac{2}{x^2} \), а производная \( x \) равна 1. Таким образом: \[ y' = -\frac{2}{x^2} + 1 \]

Шаг 3: Определение монотонности

Чтобы понять, на каких промежутках функция возрастает или убывает, приравняем первую производную к нулю: \[ -\frac{2}{x^2} + 1 = 0 \] \[ 1 = \frac{2}{x^2} \] \[ x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2} \]

Теперь необходимо исследовать знак производной \( y' \) на промежутках, определяемых найденными значениями \( x = -\sqrt{2} \) и \( x = \sqrt{2} \):

1. \( x < -\sqrt{2} \): выберем \( x = -2 \): \[ y' = -\frac{2}{(-2)^2} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = -\frac{1}{2} < 0 \] (функция убывает)

2. \( -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \): выберем \( x = 0 \): \[ y' \text{ не определена, так как } x = 0 \text{ не входит в область определения функции.} \]

3. \( x > \sqrt{2} \): выберем \( x = 2 \): \[ y' = -\frac{2}{(2)^2} + 1 = -\frac{2}{4} + 1 = -\frac{1}{2} < 0 \] (функция убывает)

Вывод о монотонности

• Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -\sqrt{2}) \) и \( (\sqrt{2}, +\infty) \).
• На промежутке \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \) функция не определяется из-за точки \( x = 0 \).

Шаг 4: Нахождение экстремумов

Так как производная равна 0 в точках \( x = -\sqrt{2} \) и \( x = \sqrt{2} \), их нужно проверить.

• При \( x = -\sqrt{2} \): \[ y(-\sqrt{2}) = \frac{2 + (-\sqrt{2})^2}{-\sqrt{2}} = \frac{2 + 2}{-\sqrt{2}} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2} \]
• При \( x = \sqrt{2} \): \[ y(\sqrt{2}) = \frac{2 + (\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}} = \frac{2 + 2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \]

Так как функция убывает на обоих концах, то в этих точках возможны экстремумы. Точка \( x = -\sqrt{2} \) – максимум, а \( x = \sqrt{2} \) – минимум.

Шаг 5: Перегибы

Теперь найдем вторую производную \( y'' \): \[ y' = -\frac{2}{x^2} + 1 \Rightarrow y'' = \frac{4}{x^3} \]

Приравниваем вторую производную к нулю: \[ \frac{4}{x^3} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^3 \text{ не может быть равным } 0 \]

Точка перегиба отсутствует. Однако, для определения знака второй производной, мы можем рассмотреть:

• \( x < 0 \): \( y'' < 0 \)
• \( x > 0 \): \( y'' > 0 \)

Таким образом, функция не имеет точек перегиба.

Вывод

1. Функция \( y = \frac{2 + x^2}{x} \) убывает на определенных интервалах.
2. Она имеет максимум при \( x = -\sqrt{2} \) и минимум при \( x = \sqrt{2} \).
3. Точки перегиба отсутствуют.

Таким образом, мы провели полный анализ функции. Если есть дополнительные вопросы или нужен анализ другой функции, не стесняйтесь задавать!