2. Коля попадает мячом в кольцо с вероятностью. На тренировке Коля выполняет последовательные независимые друг от друга броски до тех пор, пока не попадет в кольцо. Какова вероятность того, что Коля попадет не более, чем с 5-й попытки, но не ранее, чем с третьей?

Чтобы решить эту задачу, давайте определим некоторые вероятности и шаги. 1. **Обозначим вероятность попадания мяча в кольцо:** Пусть вероятность попадания в кольцо \( p \). Соответственно, вероятность промаха тогда будет \( q = 1 - p \). 2. **Нам необходимо найти вероятность того, что Коля попадет в кольцо с третьей, четвертой или пятой попытки.** Это значит, что в первых двух попытках он должен промахнуться, а на 3-й, 4-й или 5-й - попасть. 3. **Вероятность попадания с 3-й попытки:** - Промах на 1-й и 2-й попытке (это происходит с вероятностью \( q^2 \)). - Попадание на 3-й попытке (происходит с вероятностью \( p \)). - Итого, вероятность того, что он попадет с 3-й попытки: \[ P_3 = q^2 \cdot p \] 4. **Вероятность попадания с 4-й попытки:** - Промах на 1-й, 2-й и 3-й попытках (это происходит с вероятностью \( q^3 \)). - Попадание на 4-й попытке (происходит с вероятностью \( p \)). - Итого, вероятность того, что он попадет с 4-й попытки: \[ P_4 = q^3 \cdot p \] 5. **Вероятность попадания с 5-й попытки:** - Промах на 1-й, 2-й, 3-й и 4-й попытках (это происходит с вероятностью \( q^4 \)). - Попадание на 5-й попытке (происходит с вероятностью \( p \)). - Итого, вероятность того, что он попадет с 5-й попытки: \[ P_5 = q^4 \cdot p \] 6. **Теперь мы можем найти полную вероятность того, что Коля попадет не более чем с 5-й попытки, но не ранее чем с 3-й:** \[ P(\text{не более 5-й, но не ранее 3-й}) = P_3 + P_4 + P_5 \] Подставим наши выражения: \[ P(\text{не более 5-й, но не ранее 3-й}) = q^2 p + q^3 p + q^4 p \] Вынесем \( p \) за скобки: \[ = p (q^2 + q^3 + q^4) \] 7. **Теперь мы можем использовать формулу геометрической прогрессии для \( q^2 + q^3 + q^4 \):** Это сумма первых трех членов геометрической прогрессии с первым членом \( q^2 \) и знаменателем \( q \). \[ S_n = a \frac{1-r^n}{1-r} \quad (где \, a = q^2, \, r = q, \, n = 3) \] Так, имеем: \[ q^2 + q^3 + q^4 = q^2 \cdot \frac{1 - q^3}{1 - q} = \frac{q^2 (1 - q^3)}{1 - q} \] 8. **Итак, полная формула вероятности:** \[ P(\text{не более 5-й, но не ранее 3-й}) = p \cdot \frac{q^2 (1 - q^3)}{1 - q} \] Эта формула теперь дает нам возможность подсчитывать вероятность, исходя из значения \( p \) (вероятности попадания в кольцо).