3. Дан треугольник EFN. На стороне EN отмечена точка С так, что ЕС -10 см, СМ -20 см. Найдите площадь треугольников EFC И CFN, ЕСЛИ EF = 28 см, FN = 26 см

Чтобы найти площади треугольников EFC и CFN, начнем с необходимых данных и шаг за шагом решим задачу.

Дано:

• Треугольник EFN
• На стороне EN точка C, так что:
  • EC = 10 см
  • CN = 20 см (так как EN = EC + CN)
• Длины сторон:
  • EF = 28 см
  • FN = 26 см

Шаг 1: Найдем длину стороны EN

Длина стороны EN составляет сумму EC и CN: \[ EN = EC + CN = 10 \, \text{см} + 20 \, \text{см} = 30 \, \text{см} \]

Шаг 2: Найдем площадь треугольника EFN

Для нахождения площади треугольника EFN удобно использовать формулу Герона, так как известны все три стороны.

Рассчитаем полупериметр (p) треугольника EFN:

Полупериметр определяется по формуле: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] где \( a = EF = 28 \, \text{см} \), \( b = FN = 26 \, \text{см} \), \( c = EN = 30 \, \text{см} \).

Подставим значения: \[ p = \frac{28 + 26 + 30}{2} = \frac{84}{2} = 42 \, \text{см} \]

Находим площадь (S) треугольника EFN:

По формуле Герона: \[ S = \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)} \]

Подставим значения: \[ S = \sqrt{42 \cdot (42 - 28) \cdot (42 - 26) \cdot (42 - 30)} \] \[ S = \sqrt{42 \cdot 14 \cdot 16 \cdot 12} \] Теперь давайте посчитаем внутри корня: \[ 42 \cdot 14 = 588 \] \[ 16 \cdot 12 = 192 \] Таким образом: \[ S = \sqrt{588 \cdot 192} \]

Шаг 3: Вычислим значение:

Выполним умножение: \[ 588 \cdot 192 = 112896 \]

Теперь найдем корень из 112896: \[ S \approx 336 \, \text{см}^2 \]

Шаг 4: Найдем площади треугольников EFC и CFN

Так как C делит сторону EN на две части, можно использовать соотношение подобия, поскольку треугольники EFC и CFN имеют общую высоту, проведенную из точки F.

Площадь треугольника делится в отношении длин частей: \[ S_{EFC} : S_{CFN} = EC : CN \] Подставим значения: \[ S_{EFC} : S_{CFN} = 10 : 20 \quad \text{или} \quad 1 : 2 \]

Обозначим площадь треугольника EFC как \( S_{EFC} \) и площадь треугольника CFN как \( S_{CFN} \): \[ S_{EFC} = x \quad \text{и} \quad S_{CFN} = 2x \] Сумма площадей: \[ x + 2x = 336 \, \text{см}^2 \quad \Rightarrow \quad 3x = 336 \quad \Rightarrow \quad x = 112 \] Таким образом, получаем: \[ S_{EFC} = 112 \, \text{см}^2 \] \[ S_{CFN} = 224 \, \text{см}^2 \]

Ответ:

• Площадь треугольника EFC: 112 см²
• Площадь треугольника CFN: 224 см²