Найти sin2a, cos2a если cosa=-9/41 и П/2<a<П
Чтобы найти \(\sin 2a\) и \(\cos 2a\), зная, что \(\cos a = -\frac{9}{41}\) и используя диапазон \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), следуем пошаговому плану.
Находим \(\sin a\): Мы знаем, что \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\). Подставим известное значение \(\cos a\):
\[ \sin^2 a + \left(-\frac{9}{41}\right)^2 = 1 \]
Вычисляем \(\cos^2 a\):
\[ \sin^2 a + \frac{81}{1681} = 1 \]
Переносим \(\frac{81}{1681}\) в правую часть:
\[ \sin^2 a = 1 - \frac{81}{1681} \]
Чтобы выразить 1 в виде дроби с знаменателем 1681, мы можем записать 1 как \(\frac{1681}{1681}\):
\[ \sin^2 a = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681} \]
Теперь найдем \(\sin a\):
\[ \sin a = \pm \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm \frac{40}{41} \]
Поскольку \(a\) находится в диапазоне \(\frac{\pi}{2} < a < \pi\), \(\sin a\) будет положительным. Таким образом:
\[ \sin a = \frac{40}{41} \]
Находим \(\sin 2a\) и \(\cos 2a\): Используем формулы двойного угла:
\[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a \]
Подставляем найденные значения:
\[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{40}{41} \cdot \left(-\frac{9}{41}\right) \]
Вычисляем:
\[ \sin 2a = 2 \cdot \frac{40 \cdot -9}{41 \cdot 41} = \frac{-720}{1681} \]
Теперь найдем \(\cos 2a\):
\[ \cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a \]
Подставляем значения \(\cos^2 a\) и \(\sin^2 a\):
\[ \cos 2a = \left(-\frac{9}{41}\right)^2 - \left(\frac{40}{41}\right)^2 \]
Вычислим:
\[ \cos 2a = \frac{81}{1681} - \frac{1600}{1681} = \frac{81 - 1600}{1681} = \frac{-1519}{1681} \]
Таким образом, окончательные результаты:
\[ \sin 2a = \frac{-720}{1681} \]
\[ \cos 2a = \frac{-1519}{1681} \]
