Пусть стороны треугольника равны (a), (b) и (c). Средние линии треугольника относятся как 2:4:7, что означает, что:
- Первая средняя линия (параллельная стороне (a)) относится как 2,
- Вторая средняя линия (параллельная стороне (b)) относится как 4,
- Третья средняя линия (параллельная стороне (c)) относится как 7.
Пусть (k) — некая положительная константа, тогда можно записать:
[
\text{Средняя линия 1} = \frac{a}{2} = 2k \quad \Rightarrow \quad a = 4k,
]
[
\text{Средняя линия 2} = \frac{b}{2} = 4k \quad \Rightarrow \quad b = 8k,
]
[
\text{Средняя линия 3} = \frac{c}{2} = 7k \quad \Rightarrow \quad c = 14k.
]
Теперь периметр треугольника равен сумме его сторон:
[
a + b + c = 4k + 8k + 14k = 26k.
]
По условию задачи, периметр равен 78:
[
26k = 78 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{78}{26} = 3.
]
Теперь подставим значение (k) обратно в выражения для сторон:
[
a = 4k = 4 \cdot 3 = 12,
]
[
b = 8k = 8 \cdot 3 = 24,
]
[
c = 14k = 14 \cdot 3 = 42.
]
Таким образом, стороны треугольника равны:
[
a = 12, \quad b = 24, \quad c = 42.
]
