Log_0,1 x < -2

Чтобы решить неравенство \( \log_{0.1} x < -2 \), сначала разберем его шаг за шагом. 1. **Понимание логарифма**: Логарифм с основанием \( a \) (где \( 0 < a < 1 \)) имеет следующие свойства: - Если \( x < 1 \), то \( \log_a x > 0 \). - Если \( x = 1 \), то \( \log_a x = 0 \). - Если \( x > 1 \), то \( \log_a x < 0 \). В нашем случае основание \( 0.1 \) меньше 1, поэтому указанные свойства применимы. 2. **Переписываем неравенство**: Мы имеем \( \log_{0.1} x < -2 \). Чтобы избавиться от логарифма, можем выразить это неравенство в экспоненциальной форме. Логарифм даёт нам условие: \[ x < 0.1^{-2} \] 3. **Вычисляем \( 0.1^{-2} \)**: \[ 0.1^{-2} = \frac{1}{(0.1)^2} = \frac{1}{0.01} = 100 \] Таким образом, неравенство становится: \[ x < 100 \] 4. **Общая область определения**: Также необходимо учитывать, что \( x \) должен быть положительным, поскольку логарифм не определен для неотрицательных чисел. Следовательно, \( x \) должно быть больше 0: \[ x > 0 \] 5. **Записываем окончательное решение**: Теперь, необходимо объединить условия: учтем, что и \( x < 100 \), и \( x > 0 \). Это позволяет нам записать ответ в виде интервала: \[ 0 < x < 100 \] Таким образом, ответ на неравенство \( \log_{0.1} x < -2 \) — это все значения \( x \), которые находятся в диапазоне от 0 до 100 (не включая сами границы). **Ответ**: \( 0 < x < 100 \)