log_0,1 x < -2

Чтобы решить неравенство \( \log_{0.1} x < -2 \), сначала разберем его шаг за шагом.

1. Понимание логарифма: Логарифм с основанием \( a \) (где \( 0 < a < 1 \)) имеет следующие свойства:

   • Если \( x < 1 \), то \( \log_a x > 0 \).
   • Если \( x = 1 \), то \( \log_a x = 0 \).
   • Если \( x > 1 \), то \( \log_a x < 0 \).

   В нашем случае основание \( 0.1 \) меньше 1, поэтому указанные свойства применимы.

2. Переписываем неравенство: Мы имеем \( \log_{0.1} x < -2 \). Чтобы избавиться от логарифма, можем выразить это неравенство в экспоненциальной форме. Логарифм даёт нам условие:

   \[ x < 0.1^{-2} \]

3. Вычисляем \( 0.1^{-2} \): \[ 0.1^{-2} = \frac{1}{(0.1)^2} = \frac{1}{0.01} = 100 \]

   Таким образом, неравенство становится:

   \[ x < 100 \]

4. Общая область определения: Также необходимо учитывать, что \( x \) должен быть положительным, поскольку логарифм не определен для неотрицательных чисел. Следовательно, \( x \) должно быть больше 0:

   \[ x > 0 \]

5. Записываем окончательное решение: Теперь, необходимо объединить условия: учтем, что и \( x < 100 \), и \( x > 0 \). Это позволяет нам записать ответ в виде интервала:

   \[ 0 < x < 100 \]

Таким образом, ответ на неравенство \( \log_{0.1} x < -2 \) — это все значения \( x \), которые находятся в диапазоне от 0 до 100 (не включая сами границы).

Ответ: \( 0 < x < 100 \)