Контрольная работа по теме "Числовые последовательности и прогрессии" 1)Найдите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии: b) 27, 25,5, 24, … отрицательны;…

Давайте разберёмся с вашими задачами по числовым последовательностям и прогрессиям. Я предоставлю подробные объяснения и решения шаг за шагом.

Задача 1: Арифметическая прогрессия

a) Найдите, начиная с какого номера все члены арифметической прогрессии \(27, 25.5, 24, \ldots\) будут отрицательны.

1. Определим первый член (\(a_1\)) и разность (\(d\)):

   • Первый член \(a_1 = 27\).
   • Разность \(d = a_2 - a_1 = 25.5 - 27 = -1.5\).

2. Найдем общий вид \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d = 27 + (n - 1) \cdot (-1.5) \] \[ a_n = 27 - 1.5(n - 1) = 27 - 1.5n + 1.5 = 28.5 - 1.5n \]

3. Найдем, при каком \(n\) \(a_n < 0\): \[ 28.5 - 1.5n < 0 \] \[ 28.5 < 1.5n \] \[ n > \frac{28.5}{1.5} = 19 \] Ответ: Все члены прогрессии будут отрицательны начиная с 20-го члена.

б) Найдите сумму первых ста двадцати членов арифметической прогрессии, если известны первый член \(a_1\) и разность \(d\): \(a = -25, d = -4\)

1. Определим сумму \(S_n\) первых \(n\) членов: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

2. Выразим \(a_n\): \[ a_n = a_1 + (n - 1)d = -25 + (120 - 1)(-4) \] \[ a_{120} = -25 + 119 \cdot (-4) = -25 - 476 = -501 \]

3. Подставим в формулу суммы: \[ S_{120} = \frac{120}{2} \cdot (-25 - 501) = 60 \cdot (-526) = -31560 \] Ответ: Сумма первых 120 членов равна \(-31560\).

Задача 2: Найдите сумму \(S_n\) членов арифметической прогрессии

a) \(a_1 = -1, d = -3, n = 16\)

1. Найдем \(a_n\): \[ a_n = -1 + (16 - 1)(-3) = -1 - 45 = -46 \]

2. Сумма: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{16}{2} \cdot (-1 - 46) = 8 \cdot (-47) = -376 \] Ответ: Сумма равна \(-376\).

б) \(a_1 = -0.5, d = 4.5, n = 36\)

1. Найдем \(a_n\): \[ a_n = -0.5 + (36 - 1)(4.5) = -0.5 + 157.5 = 157 \]

2. Сумма: \[ S_n = \frac{36}{2} \cdot (-0.5 + 157) = 18 \cdot 156.5 = 2827 \] Ответ: Сумма равна \(2827\).

Задача 3: Проблема с альпинистами

Первый день альпинисты поднялись на 1500 м. Каждый следующий день они поднимались на 150 м меньше, чем в предыдущий. Найдём, сколько дней им понадобилось, чтобы достичь высоты 5100 м.

1. Формируем последовательность подъёмов:

   • Первый день: \(1500\) м.
   • Второй день: \(1350\) м.
   • Третий день: \(1200\) м.
   • И так далее.

2. Первый член \(a_1 = 1500\), разность \(d = -150\).

3. Обозначим \(n\) - количество дней, когда суммарно они достигнут 5100 м: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \quad \text{(где \(a_n\) будет высота, достигнутая n-ым днем)} \]

4. Найдем \(a_n\): \(a_n = 1500 - 150(n-1)\)

5. Запишем уравнение для суммы: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (1500 + (1500 - 150(n-1))) \] Упрощаем: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (1500 + 1500 - 150n + 150) = \frac{n}{2} \cdot (3150 - 150n) \] Поскольку нам нужно, чтобы \(S_n \geq 5100\): \[ 3150n - 75n^2 \geq 10200 \] Решим это неравенство. Переносим всё в одну сторону: \[ 75n^2 - 3150n + 10200 \leq 0 \]

6. Поделим на 75: \[ n^2 - 42n + 136 \leq 0 \]

7. Решаем квадратное уравнение, чтобы найти корни. Это делается по формуле: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{42 \pm \sqrt{42^2 - 4 \cdot 1 \cdot 136}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{42 \pm \sqrt{1764 - 544}}{2} = \frac{42 \pm \sqrt{1220}}{2} \] \[ \sqrt{1220} \approx 34.93 \] \[ n \approx \frac{42 \pm 34.93}{2} \] Получаем два решения \(n_1 \approx 38.465\) и \(n_2 \approx 3.535\). Округляем до ближайших целых. Следовательно, понадобится 39 дней.

Задача 4: Первые пять членов геометрической прогрессии

\(b_1 = 10, q = -2\)

1. Запишем формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

2. Первые пять членов:

   • \(b_1 = 10\)
   • \(b_2 = 10 \cdot (-2) = -20\)
   • \(b_3 = 10 \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 4 = 40\)
   • \(b_4 = 10 \cdot (-2)^3 = 10 \cdot (-8) = -80\)
   • \(b_5 = 10 \cdot (-2)^4 = 10 \cdot 16 = 160\)

Ответ: Первые пять членов: \(10, -20, 40, -80, 160\).

Задача 5: Уточнение

Для этой задачи, пожалуйста, предоставьте больше данных. Укажите, что именно вам нужно найти для последовательности \( (b_n) \) в виде геометрической прогрессии.

Надеюсь, разъяснения были полезны! Если у вас есть другие вопросы или нужно больше пояснений, дайте знать!