Чтобы векторы ( \mathbf{a}(-4, x, 3) ) и ( \mathbf{b}(20, -10, -15) ) были коллинеарны, они должны быть линейно зависимыми, то есть один из векторов должен быть кратен (то есть иметь одинаковую направленность и пропорциональные координаты) другому. Это можно математически выразить так:
[
\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}
]
Где ( a_1, a_2, a_3 ) — координаты вектора ( \mathbf{a} ), а ( b_1, b_2, b_3 ) — координаты вектора ( \mathbf{b} ).
Подставим известные значения:
[
a_1 = -4, \quad a_2 = x, \quad a_3 = 3
]
[
b_1 = 20, \quad b_2 = -10, \quad b_3 = -15
]
Теперь составим соотношения:
- Сначала сравним первые две координаты:
[
\frac{-4}{20} = \frac{x}{-10}
]
Упрощая первое соотношение, получаем:
[
\frac{-1}{5} = \frac{x}{-10}
]
Теперь выразим ( x ) из этого уравнения:
[
-1 \cdot (-10) = 5x \implies 10 = 5x \implies x = \frac{10}{5} = 2
]
- Теперь проверим, совпадает ли это значение с третьей координатой. Сравним ( \frac{3}{-15} ) и ( \frac{-4}{20} ):
[
\frac{3}{-15} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}
]
Так что соотношения совпадают, и мы можем заключить, что векторы будут коллинеарны при ( x = 2 ).
- Проверим соответствие между второй координатой и третьей:
Подставив ( x ) в соотношение:
[
\frac{x}{-10} = \frac{2}{-10} = -\frac{1}{5}
]
И это подтверждает, что все пропорции равны.
Таким образом, векторы ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ) будут коллинеарны, если ( x = 2 ).
Ответ: ( x = 2 )
