даны векторы а(-4;х;3) и в (20;-10;-15) при каком х они коллинеарны
Чтобы векторы \( \mathbf{a}(-4, x, 3) \) и \( \mathbf{b}(20, -10, -15) \) были коллинеарны, они должны быть линейно зависимыми, то есть один из векторов должен быть кратен (то есть иметь одинаковую направленность и пропорциональные координаты) другому. Это можно математически выразить так:
\[ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3} \]
Где \( a_1, a_2, a_3 \) — координаты вектора \( \mathbf{a} \), а \( b_1, b_2, b_3 \) — координаты вектора \( \mathbf{b} \).
Подставим известные значения:
\[ a_1 = -4, \quad a_2 = x, \quad a_3 = 3 \] \[ b_1 = 20, \quad b_2 = -10, \quad b_3 = -15 \]
Теперь составим соотношения:
- Сначала сравним первые две координаты:
\[ \frac{-4}{20} = \frac{x}{-10} \]
Упрощая первое соотношение, получаем:
\[ \frac{-1}{5} = \frac{x}{-10} \]
Теперь выразим \( x \) из этого уравнения:
\[ -1 \cdot (-10) = 5x \implies 10 = 5x \implies x = \frac{10}{5} = 2 \]
- Теперь проверим, совпадает ли это значение с третьей координатой. Сравним \( \frac{3}{-15} \) и \( \frac{-4}{20} \):
\[ \frac{3}{-15} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5} \]
Так что соотношения совпадают, и мы можем заключить, что векторы будут коллинеарны при \( x = 2 \).
- Проверим соответствие между второй координатой и третьей:
Подставив \( x \) в соотношение:
\[ \frac{x}{-10} = \frac{2}{-10} = -\frac{1}{5} \]
И это подтверждает, что все пропорции равны.
Таким образом, векторы \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \) будут коллинеарны, если \( x = 2 \).
Ответ: \( x = 2 \)
