Радиус основания цилиндра равен 6см,а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°.найдите объём цилиндра.
Чтобы найти объём цилиндра, нам нужно знать радиус основания и высоту цилиндра. В этой задаче радиус основания задан, но высота нам необходимо найти, используя информацию об угле и диагонали осевого сечения.
Шаг 1: Определение радиуса и угла
- Радиус основания цилиндра (r): 6 см.
- Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания (α): 60°.
Шаг 2: Понимание осевого сечения
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник:
- Один катет — это высота цилиндра (h).
- Второй катет — это радиус основания (r = 6 см).
Диагональ осевого сечения (гипотенуза) образует угол α с основанием.
Шаг 3: Использование тригонометрических соотношений
Мы можем использовать тангенс угла для нахождения высоты h:
\[ \tan(α) = \frac{h}{r} \]
Подставляем известные значения:
\[ \tan(60°) = \frac{h}{6} \]
Зная, что \(\tan(60°) = \sqrt{3}\), получаем:
\[ \sqrt{3} = \frac{h}{6} \]
Шаг 4: Нахождение высоты h
Умножаем обе стороны уравнения на 6:
\[ h = 6\sqrt{3} \]
Шаг 5: Нахождение объёма цилиндра
Формула для объёма V цилиндра:
\[ V = πr^2h \]
Теперь подставим радиус (6 см) и высоту (6√3 см):
\[ V = π(6^2)(6\sqrt{3}) \]
Считаем:
- \(6^2 = 36\)
- Подставляем в формулу:
\[ V = π \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3} \]
\[ V = 216π\sqrt{3} \]
Ответ
Объём цилиндра равен \(216π\sqrt{3}\) кубических сантиметров.
Это финальный ответ, который можно приближённо оценить, если подставить значение π (примерно 3.14): \[ V \approx 216 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{3} \approx 373.76 \text{ см}^3. \]
Таким образом, объём цилиндра составляет приблизительно 373.76 см³.
