Чтобы найти объём цилиндра, нам нужно знать радиус основания и высоту цилиндра. В этой задаче радиус основания задан, но высота нам необходимо найти, используя информацию об угле и диагонали осевого сечения.
Шаг 1: Определение радиуса и угла
- Радиус основания цилиндра (r): 6 см.
- Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания (α): 60°.
Шаг 2: Понимание осевого сечения
Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольный треугольник:
- Один катет — это высота цилиндра (h).
- Второй катет — это радиус основания (r = 6 см).
Диагональ осевого сечения (гипотенуза) образует угол α с основанием.
Шаг 3: Использование тригонометрических соотношений
Мы можем использовать тангенс угла для нахождения высоты h:
[
\tan(α) = \frac{h}{r}
]
Подставляем известные значения:
[
\tan(60°) = \frac{h}{6}
]
Зная, что (\tan(60°) = \sqrt{3}), получаем:
[
\sqrt{3} = \frac{h}{6}
]
Шаг 4: Нахождение высоты h
Умножаем обе стороны уравнения на 6:
[
h = 6\sqrt{3}
]
Шаг 5: Нахождение объёма цилиндра
Формула для объёма V цилиндра:
[
V = πr^2h
]
Теперь подставим радиус (6 см) и высоту (6√3 см):
[
V = π(6^2)(6\sqrt{3})
]
Считаем:
- (6^2 = 36)
- Подставляем в формулу:
[
V = π \cdot 36 \cdot 6\sqrt{3}
]
[
V = 216π\sqrt{3}
]
Ответ
Объём цилиндра равен (216π\sqrt{3}) кубических сантиметров.
Это финальный ответ, который можно приближённо оценить, если подставить значение π (примерно 3.14):
[
V \approx 216 \cdot 3.14 \cdot \sqrt{3} \approx 373.76 \text{ см}^3.
]
Таким образом, объём цилиндра составляет приблизительно 373.76 см³.
