У прямого параллелепипеда стороны основания длиной б см и 4 см образуют угол 30°, боковое ребро равно 3 см. Найдите площадь полной поверхности этого параллелепипеда.
Чтобы найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, нам сначала нужно определить размеры все его сторон. Давайте последовательно решим задачу.
Шаг 1: Определение размеров сторон основания
У нас есть параллелепипед, основание которого образовано двумя сторонами: \(b\) и \(4 \, \text{см}\). Эти стороны образуют угол \(30^\circ\).
Для вычисления площади основания, нам нужно найти высоту, опущенную на сторону равную \(b\). Для этого используем тригонометрические функции. Поскольку одна из сторон равна 4 см и угол между сторонами равен \(30^\circ\), мы можем найти высоту (\(h\)) следующим образом:
\[ h = 4 \cdot \sin(30^\circ) \]
Знаем, что \(\sin(30^\circ) = 0.5\):
\[ h = 4 \cdot 0.5 = 2 \, \text{см} \]
Теперь мы можем найти длину стороны \(b\) с помощью косинуса:
\[ b = 4 \cdot \cos(30^\circ) \]
Знаем, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\):
\[ b = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \, \text{см} \]
Таким образом, мы можем записать размеры основания: стороны основания — \(2\sqrt{3} \, \text{см}\) и \(4 \, \text{см}\).
Шаг 2: Вычисление площади основания
Площадь основания (\(S_{осн}\)) параллелепипеда можно найти с помощью формулы для площади треугольника:
\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta) \]
Где \(a\) и \(b\) — это длины сторон, а \(\theta\) — угол между ними. Подставим значения:
\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 4 \cdot 0.5 = 2\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
Шаг 3: Площадь боковых сторон
Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности параллелепипеда, нужно добавить площади боковых сторон. Параллелепипед имеет 4 боковые поверхности, и каждая из них является прямоугольником:
- Две стороны с размером \(2\sqrt{3} \, \text{см}\) и высотой \(3 \, \text{см}\).
- Две стороны с размером \(4 \, \text{см}\) и высотой \(3 \, \text{см}\).
Площадь двух боковых сторон с \(2\sqrt{3}\):
\[ S_{бок} (с одной стороны) = 2\sqrt{3} \cdot 3 = 6\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]
Площадь двух боковых сторон с \(4\):
\[ S_{бок} (с другой стороны) = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{см}^2 \]
Общая площадь боковых сторон:
\[ S_{бок. общ} = 2 \cdot 6\sqrt{3} + 2 \cdot 12 = 12\sqrt{3} + 24 \, \text{см}^2 \]
Шаг 4: Полная площадь поверхности
Теперь можем вычислить полную площадь поверхности:
\[ S_{пол} = 2 \cdot S_{осн} + S_{бок. общ} \]
Так как основание у нас всего два:
\[ S_{пол} = 2 \cdot (2\sqrt{3}) + (12\sqrt{3} + 24) \]
Упрощаем уравнение:
\[ S_{пол} = 4\sqrt{3} + 12\sqrt{3} + 24 = 16\sqrt{3} + 24 \, \text{см}^2 \]
Ответ
Полная площадь поверхности параллелепипеда составляет:
\[ S_{пол} = 16\sqrt{3} + 24 \, \text{см}^2 \]
Вот так мы можем разобраться с задачей. Если у вас есть вопросы, не стесняйтесь спрашивать!
