Давайте разберем каждую задачу по порядку.
Задача 1:
Числовая последовательность задана условиями:
( a_1 = 2, , a_n = 2a_{n-1} - 3 ).
Чтобы найти пятый член этой последовательности, сначала вычислим другие члены.
Найдем ( a_2 ):
[
a_2 = 2a_1 - 3 = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1
]
Найдем ( a_3 ):
[
a_3 = 2a_2 - 3 = 2 \cdot 1 - 3 = 2 - 3 = -1
]
Найдем ( a_4 ):
[
a_4 = 2a_3 - 3 = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5
]
Найдем ( a_5 ):
[
a_5 = 2a_4 - 3 = 2 \cdot (-5) - 3 = -10 - 3 = -13
]
Таким образом, пятый член последовательности ( a_5 ) равен -13.
Задача 2:
Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии, если ( a_1 = -15, , d = 3 ).
Формула для n-го члена арифметической прогрессии:
[
a_n = a_1 + (n-1)d
]
Подставим значение ( n = 23 ):
[
a_{23} = a_1 + (23-1)d = -15 + 22 \cdot 3
]
[
= -15 + 66 = 51
]
Таким образом, двадцать третий член ( a_{23} ) равен 51.
Задача 3:
Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии: 8; 4; 0; ...
Параметры прогрессии:
- Первый член ( a_1 = 8 )
- Разность ( d = 4 - 8 = -4 )
Формула для суммы первых n членов арифметической прогрессии:
[
S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)
]
Чтобы найти сумму первых 16 членов, нужно сначала найти ( a_{16} ):
[
a_{16} = a_1 + (16-1)d = 8 + 15 \cdot (-4) = 8 - 60 = -52
]
Теперь подставим значения в формулу суммы:
[
S_{16} = \frac{16}{2} (8 + (-52)) = 8 \cdot (-44) = -352
]
Таким образом, сумма шестнадцати первых членов арифметической прогрессии равна -352.
Это подробные решения каждой из задач. Если есть дополнительные вопросы или требуется пояснение по какому-либо из этапов, пожалуйста, дайте знать!
