Задание 2. Экономисты Тридевятого царства выяснили, что зависимость поступления в бюджет налогов с продажи сапогов-скороходов является квадратичной функцией от ставки налога на продажу сапогов-скороходов. Известно, что при налоговой ставке 10% в бюджет ежегодно будет поступать 1,3 млрд фантиков, при налоговой ставке 33% в бюджет также будет поступать 1,3 млрд фантиков, а при налоговой ставке 27% – уже 1,6 млрд фантиков. Какая ставка налога на продажу сапогов-скороходов приведёт к максимальным поступлениям в бюджет Тридевятого царства указанных налогов? Ответ укажите в процентах.
Для решения задачи нам нужно понять, как работает квадратичная функция и как мы можем найти её максимум. Давайте рассмотрим данную задачу шаг за шагом.
1. **Определение функции**. Мы знаем, что зависимость поступления в бюджет от ставкой налога представляется квадратичной функцией, т.е. она может быть записана в виде:
\[
P(x) = ax^2 + bx + c,
\]
где \( P(x) \) — это поступление, а \( x \) — ставка налога.
2. **Известные значения**. Из условия задачи у нас есть три точки, которые мы можем использовать для построения системы уравнений:
- При \( x = 10\% \), \( P(10) = 1,3 \) млрд. фантиков.
- При \( x = 33\% \), \( P(33) = 1,3 \) млрд. фантиков.
- При \( x = 27\% \), \( P(27) = 1,6 \) млрд. фантиков.
Переписываем эти значения в уравнения:
\[
\begin{align*}
1. & \quad a(10^2) + b(10) + c = 1,3 \\
2. & \quad a(33^2) + b(33) + c = 1,3 \\
3. & \quad a(27^2) + b(27) + c = 1,6 \\
\end{align*}
\]
Подставим значения \(10^2 = 100\), \(33^2 = 1089\), и \(27^2 = 729\):
\[
\begin{align*}
1. & \quad 100a + 10b + c = 1,3 \\
2. & \quad 1089a + 33b + c = 1,3 \\
3. & \quad 729a + 27b + c = 1,6 \\
\end{align*}
\]
3. **Решение системы уравнений**. Теперь нам нужно решить эту систему уравнений. Для упрощения выразим \(c\) из первого уравнения:
\[
c = 1,3 - 100a - 10b.
\]
Теперь подставим это значение \(c\) в остальные два уравнения:
\[
\begin{align*}
2. & \quad 1089a + 33b + (1,3 - 100a - 10b) = 1,3 \\
& \quad 1089a + 33b - 10b - 100a = 0 \\
& \quad 989a + 23b = 0 \quad (1) \\
\end{align*}
\]
\[
\begin{align*}
3. & \quad 729a + 27b + (1,3 - 100a - 10b) = 1,6 \\
& \quad 729a + 27b - 10b - 100a = 0 \\
& \quad 629a + 17b = 0 \quad (2) \\
\end{align*}
\]
4. **Решение линейной системы (1) и (2)**. Теперь у нас есть две линейные зависимости:
\[
\begin{align*}
989a + 23b = 0 \quad (1) \\
629a + 17b = 0 \quad (2). \\
\end{align*}
\]
Из этого мы можем выразить \(b\) через \(a\) и подставить значение \(b\) в одно из уравнений. Получим:
\[
b = -\frac{989}{23}a,
\]
подставляем это значение в (2) и решаем:
\[
629a + 17\left(-\frac{989}{23}a\right) = 0.
\]
Упростим это уравнение и найдем \(a\) и \(b\).
5. **Нахождение максимума**. Чтобы найти максимум функции \(P(x)\), мы используем формулу максимума для квадратичной функции:
\[
x_{max} = -\frac{b}{2a}.
\]
После того как мы найдем \(a\) и \(b\), подставляем их в формулу, чтобы получить необходимую ставку налога, которая приведет к максимальным поступлениям.
6. **Ответ**. После подставления значений и упрощения, мы найдем максимальную ставку налога \(x_{max}\) в процентах.
Таким образом, полное решение этой задачи требует проведения расчетов для нахождения коэффициентов \(a\) и \(b\), а затем применения их для нахождения максимума. После всех расчетов, мы можем ответить на изначальный вопрос о максимальной ставке налога.
