X ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ С21/Элементы комбинаторики Вариант 1 1. Сколькими способами можно составить список без по-вторений из 4 человек, имеющих различные фами лии? 2. Сколько…

Хорошо, давай разберем каждый из пунктов подробнее.

Вариант 1

1. Сколькими способами можно составить список без повторений из 4 человек, имеющих различные фамилии?

   Для решения этой задачи используем формулу перестановок. Мы можем выбрать 4 человека из 4, и порядок, в котором они выбраны, имеет значение.

   Формула перестановок: \[ P(n) = n! \] В данном случае \( n = 4 \): \[ P(4) = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \] Ответ: 24 способа.

2. Сколько четырехзначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 1, 4, 5, 7 при условии, что цифры в числе не повторяются?

   Четырехзначное число будет кратно 5, если его последняя цифра равна 5. Поэтому последней цифрой будет 5, а перед ней можно разместить оставшиеся 3 цифры (1, 4 и 7).

   Количество способов расставить 3 цифры: \[ 3! = 6 \] Ответ: 6 четырехзначных чисел.

3. Сколько существует способов занять первое, второе и третье места в соревновании, если в нем участвует 8 команд?

   Здесь мы используем правило выбора с порядком, то есть делаем выбор на 3 позиции из 8 команд. Формула для этого: \[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Здесь \( n = 8 \) и \( k = 3 \): \[ P(8, 3) = \frac{8!}{(8-3)!} = \frac{8!}{5!} = 8 \times 7 \times 6 = 336 \] Ответ: 336 способов.

4. С помощью цифр 2 и 6 запишите всевозможные двузначные числа, в которых цифры могут повторяться.

   Двузначное число состоит из двух позиций: десятков и единиц. У нас есть 2 варианта (2 и 6) для каждой позиции.

   Таким образом, для каждой из двух позиций у нас 2 варианта: \[ 2 \text{ (десятки)} \times 2 \text{ (единицы)} = 4 \] Перечислим числа: 22, 26, 62, 66. Ответ: 4 числа.

Вариант 2

1. Сколькими способами можно составить список без повторений из 5 человек, имеющих различные фамилии?

   Аналогично первому пункту первого варианта, используем формулу перестановок. Здесь \( n = 5 \): \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \] Ответ: 120 способов.

2. Сколько четырехзначных чисел, кратных пяти, можно составить из цифр 2, 5, 8, 9 при условии, что цифры в числе не повторяются?

   Четырехзначное число будет кратно 5, если его последняя цифра равна 5. Следовательно, последней цифрой будет 5, и у нас остаются цифры 2, 8 и 9, которые нужно расставить.

   Количество способов расставить 3 цифры: \[ 3! = 6 \] Ответ: 6 четырехзначных чисел.

3. Сколько существует способов занять первое, второе и третье места в соревновании, если в нем участвует 10 команд?

   Используем правило выбора с порядком: \[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Здесь \( n = 10 \) и \( k = 3 \): \[ P(10, 3) = \frac{10!}{(10-3)!} = \frac{10!}{7!} = 10 \times 9 \times 8 = 720 \] Ответ: 720 способов.

4. С помощью цифр 3 и 9 запишите всевозможные двузначные числа, в которых цифры могут повторяться.

   У нас 2 варианта (3 и 9) для каждой позиции.

   Для десятков и единиц: \[ 2 \text{ (десятки)} \times 2 \text{ (единицы)} = 4 \] Перечислим числа: 33, 39, 93, 99. Ответ: 4 числа.

Надеюсь, эти развернутые объяснения помогут тебе лучше понять элементы комбинаторики!