Решить

Хорошо, давай разберёмся с задачей. Нам нужно найти собственный вектор матрицы \( A \) методом обратных итераций, соответствующий приближённому значению собственного числа \(\lambda \approx 4.7\). В качестве начального приближения дан вектор \( x^{(0)} = (1, 1, 1)^T \). Требуется выполнить две итерации.

Метод обратных итераций работает следующим образом: на каждом шаге мы решаем систему \( (A - \lambda I) x^{(k+1)} = x^{(k)} \), где \( I \) — единичная матрица, \( x^{(k)} \) — приближённое значение собственного вектора на \( k \)-ой итерации.

Давай сначала найдём матрицу \( (A - \lambda I) \). В нашем случае \(\lambda = 4.7\), так что вычтем \( 4.7 \) из каждого элемента главной диагонали матрицы \( A \):

\[ \begin{bmatrix} 8 & -1 & -3 \\ -8 & -5 & 3 \\ 2 & 7 & 7 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4.7 & 0 & 0 \\ 0 & 4.7 & 0 \\ 0 & 0 & 4.7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3.3 & -1 & -3 \\ -8 & -9.7 & 3 \\ 2 & 7 & 2.3 \\ \end{bmatrix} \]

Теперь решим систему уравнений \( (A - \lambda I) x^{(1)} = x^{(0)} \). Под \( x^{(0)} \) подразумевается начальное приближ