1. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые 7 минут. В начальный момент масса изотопа составляла 640 мг. Найдите массу изотопа через 42 минуты. Ответ дайте в миллиграммах. 2. В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 13 мг. За каждые 30 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии микроорганизмов через 90 минут после начала эксперимента. Ответ дайте в миллиграммах. 3. У Тани есть теннисный мячик. Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока мячик подлетел на высоту 360 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в три раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит мячик, станет меньше 15 см? 4. Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см?

Решим задачи по порядку с подробными объяснениями. ### Задача 1: **Условие:** Масса радиоактивного изотопа уменьшается вдвое каждые 7 минут. Начальная масса 640 мг. Нужно найти массу через 42 минуты. **Решение:** 1. Определим количество периодов радиационного распада за 42 минуты. Период полураспада — 7 минут. \[ \text{Количество периодов} = \frac{42}{7} = 6 \] 2. Масса изотопа уменьшается вдвое с каждым периодом: \[ \text{Масса} = \text{Начальная масса} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\text{Количество периодов}} = 640 \, \text{мг} \times \left(\frac{1}{2}\right)^6 \] 3. Теперь рассчитываем: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64} \] \[ \text{Масса} = 640 \times \frac{1}{64} = 10 \, \text{мг} \] **Ответ:** Масса изотопа через 42 минуты составит **10 мг**. --- ### Задача 2: **Условие:** Начальная масса колонии микроорганизмов 13 мг. Масса увеличивается в 3 раза каждые 30 минут. Найдите массу через 90 минут. **Решение:** 1. Определим количество периодов увеличения массы. Один период составляет 30 минут: \[ \text{Количество периодов} = \frac{90}{30} = 3 \] 2. Масса увеличивается в 3 раза с каждым периодом: \[ \text{Масса} = \text{Начальная масса} \times 3^{\text{Количество периодов}} = 13 \, \text{мг} \times 3^3 \] 3. Рассчитаем: \[ 3^3 = 27 \] \[ \text{Масса} = 13 \times 27 = 351 \, \text{мг} \] **Ответ:** Масса микроорганизмов через 90 минут составит **351 мг**. --- ### Задача 3: **Условие:** Высота первого отскока мячика 360 см, высота каждого следующего отскока в 3 раза меньше. Нужно найти, после какого по счёту отскока высота станет меньше 15 см. **Решение:** 1. Высота каждом следующем отскоке равна: \[ \text{Высота}_n = \frac{360}{3^{(n-1)}} \] 2. Мы ищем минимальное \( n \), при котором: \[ \frac{360}{3^{(n-1)}} < 15 \] 3. Умножим обе стороны на \( 3^{(n-1)} \): \[ 360 < 15 \times 3^{(n-1)} \] \[ 3^{(n-1)} > \frac{360}{15} = 24 \] 4. Найдем \( n \): - \( 3^3 = 27 \) (это подходит) - То есть \( n-1=3 \Rightarrow n = 4 \) **Ответ:** После **четвёртого** отскока высота станет меньше 15 см. --- ### Задача 4: **Условие:** Высота первого прыжка мячика 5,4 м, высота каждого следующего в 3 раза меньше. Нужно найти, при каком прыжке мячик не достигнет высоты 10 см. **Решение:** 1. Высота каждого следующего прыжка: \[ \text{Высота}_n = \frac{5.4}{3^{(n-1)}} \] 2. Найдем \( n \): \[ \frac{5.4}{3^{(n-1)}} < 0.1 \quad \text{(10 см = 0.1 м)} \] 3. Умножим обе стороны на \( 3^{(n-1)} \): \[ 5.4 < 0.1 \times 3^{(n-1)} \] \[ 3^{(n-1)} > \frac{5.4}{0.1} = 54 \] 4. Найдем \( n \): - \( 3^3 = 27 \) (это маловато) - \( 3^4 = 81 \) (это больше 54) - Значит, \( n-1=4 \Rightarrow n = 5 \) **Ответ:** При **пятом** прыжке мячик впервые не достигнет высоты 10 см.