У одного человека есть 7 книг по математике, а у другого 9 книг. Сколькими способами они могут обменять по две книги одного на две книги другого?
Давайте разберём вашу задачу шаг за шагом.
У нас есть два человека:
- Первый человек имеет 7 книг (назовём его A).
- Второй человек имеет 9 книг (назовём его B).
Они хотят обменяться по 2 книгам. Нам нужно узнать, сколькими способами это можно сделать.
Шаг 1: Считаем, сколько способов выбрать 2 книги у человека A
Человек A может выбрать 2 книги из своих 7. Мы можем использовать сочетания для этого, что обозначается как \( C(n, k) \), где \( n \) — общее количество предметов, а \( k \) — количество предметов, которые мы выбираем.
Формула для сочетаний выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
В нашем случае:
\[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \times 5!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]
То есть, человек A может выбрать 2 книги 21 способом.
Шаг 2: Считаем, сколько способов выбрать 2 книги у человека B
Теперь человек B может выбрать 2 книги из своих 9. По той же формуле:
\[ C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2! \times 7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \]
Человек B может выбрать 2 книги 36 способами.
Шаг 3: Считаем общее количество способов обмена
Теперь, чтобы найти общее количество способов, которыми они могут обменяться по 2 книги каждый, нам нужно перемножить количество способов, которыми каждый из них может выбрать книги:
\[ \text{Общее количество способов} = C(7, 2) \times C(9, 2) = 21 \times 36 \]
Шаг 4: Умножаем результаты
Теперь давайте умножим:
\[ 21 \times 36 = 756 \]
Ответ
Таким образом, они могут обменяться по 2 книги друг на друга 756 способами.
