Чтобы решить задачу, связанной с эффектом Доплера, начнем с анализа формулы, а затем определим минимальную скорость, с которой тепловоз должен двигаться, чтобы человек на платформе мог различить сигналы.
Дано:
- Частота первого гудка: ( f_0 = 532 , \text{Гц} )
- Разница в частотах для различия сигналов: ( \Delta f = 28 , \text{Гц} )
- Скорость звука: ( c = 320 , \text{м/с} )
Формула эффекта Доплера:
Частота второго гудка, который будет слышен приближающимся к платформе тепловозом, определяется по формуле:
[
f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}}
]
где ( v ) — скорость тепловоза.
Найдем частоту второго гудка:
Человек на платформе сможет различить сигналы, если:
[
f(v) - f_0 \geq \Delta f
]
Подставим выражение ( f(v) ) в это неравенство:
[
\frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} - f_0 \geq \Delta f
]
Упростим неравенство:
Вынесем ( f_0 ) за скобки:
[
f_0 \left( \frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1 \right) \geq \Delta f
]
Приведем к общему знаменателю:
[
f_0 \left( \frac{1 - (1 - \frac{v}{c})}{1 - \frac{v}{c}} \right) \geq \Delta f
]
[
f_0 \left( \frac{\frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}} \right) \geq \Delta f
]
Теперь выразим ( \frac{v}{c} ):
[
\frac{f_0 \cdot v}{c(1 - \frac{v}{c})} \geq \Delta f
]
Упростим неравенство:
[
f_0 \cdot v \geq \Delta f \cdot c \cdot (1 - \frac{v}{c})
]
Раскроем скобки:
[
f_0 \cdot v \geq \Delta f \cdot c - \Delta f \cdot v
]
Соберем все члены с ( v ) в одной части:
[
f_0 \cdot v + \Delta f \cdot v \geq \Delta f \cdot c
]
[
v(f_0 + \Delta f) \geq \Delta f \cdot c
]
Теперь выразим ( v ):
[
v \geq \frac{\Delta f \cdot c}{f_0 + \Delta f}
]
Подставим известные значения:
- ( \Delta f = 28 , \text{Гц} )
- ( c = 320 , \text{м/с} )
- ( f_0 = 532 , \text{Гц} )
Посчитаем:
[
v \geq \frac{28 \cdot 320}{532 + 28}
]
[
v \geq \frac{8960}{560}
]
[
v \geq 16 , \text{м/с}
]
Ответ
Минимальная скорость, с которой приближался к платформе тепловоз, составляет ( 16 , \text{м/с} ).
