Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0=532Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого:…

Чтобы решить задачу, связанной с эффектом Доплера, начнем с анализа формулы, а затем определим минимальную скорость, с которой тепловоз должен двигаться, чтобы человек на платформе мог различить сигналы.

Дано:

• Частота первого гудка: \( f_0 = 532 \, \text{Гц} \)
• Разница в частотах для различия сигналов: \( \Delta f = 28 \, \text{Гц} \)
• Скорость звука: \( c = 320 \, \text{м/с} \)

Формула эффекта Доплера:

Частота второго гудка, который будет слышен приближающимся к платформе тепловозом, определяется по формуле: \[ f(v) = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} \] где \( v \) — скорость тепловоза.

Найдем частоту второго гудка:

Человек на платформе сможет различить сигналы, если: \[ f(v) - f_0 \geq \Delta f \]

Подставим выражение \( f(v) \) в это неравенство: \[ \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} - f_0 \geq \Delta f \]

Упростим неравенство:

Вынесем \( f_0 \) за скобки: \[ f_0 \left( \frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1 \right) \geq \Delta f \] Приведем к общему знаменателю: \[ f_0 \left( \frac{1 - (1 - \frac{v}{c})}{1 - \frac{v}{c}} \right) \geq \Delta f \] \[ f_0 \left( \frac{\frac{v}{c}}{1 - \frac{v}{c}} \right) \geq \Delta f \] Теперь выразим \( \frac{v}{c} \): \[ \frac{f_0 \cdot v}{c(1 - \frac{v}{c})} \geq \Delta f \] Упростим неравенство: \[ f_0 \cdot v \geq \Delta f \cdot c \cdot (1 - \frac{v}{c}) \] Раскроем скобки: \[ f_0 \cdot v \geq \Delta f \cdot c - \Delta f \cdot v \] Соберем все члены с \( v \) в одной части: \[ f_0 \cdot v + \Delta f \cdot v \geq \Delta f \cdot c \] \[ v(f_0 + \Delta f) \geq \Delta f \cdot c \] Теперь выразим \( v \): \[ v \geq \frac{\Delta f \cdot c}{f_0 + \Delta f} \]

Подставим известные значения:

• \( \Delta f = 28 \, \text{Гц} \)
• \( c = 320 \, \text{м/с} \)
• \( f_0 = 532 \, \text{Гц} \)

Посчитаем: \[ v \geq \frac{28 \cdot 320}{532 + 28} \] \[ v \geq \frac{8960}{560} \] \[ v \geq 16 \, \text{м/с} \]

Ответ

Минимальная скорость, с которой приближался к платформе тепловоз, составляет \( 16 \, \text{м/с} \).