8. В равнобедренном треугольнике с основанием АС, длина которого 84 см, проведена биссектриса BM угла АВС. 16 баллов Выберите правильный ответ из предложенных Используя второй…

Давайте рассмотрим задачу подробно и решим её шаг за шагом.

Дано:

• Равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \), где \( AB = AC \).
• Основание \( AC \) равно 84 см.
• Проведена биссектриса \( BM \) угла \( ABC \).

Цель:

1. Докажем, что отрезок \( BM \) является медианой.
2. Найдем длину отрезка \( AM \).

Шаг 1: Определение углов

1. В равнобедренном треугольнике \( \triangle ABC \) углы при основании равны, то есть: \[ \angle A = \angle C \]

2. Так как \( BM \) – биссектриса угла \( ABC \), то: \[ \angle ABM = \angle CBM \] Обозначим угол \( \angle ABM \) как \( \alpha \) и угол \( \angle CBM \) также как \( \alpha \).

Шаг 2: Равенство треугольников

Теперь рассмотрим два треугольника:

• \( \triangle ABM \)
• \( \triangle CBM \)

Стороны треугольника:

1. В треугольниках \( ABM \) и \( CBM \):
   • \( AB = AC \) (по свойству равнобедренного треугольника)
   • \( \angle ABM = \angle CBM \) (по свойству биссектрисы)
   • Общая сторона \( BM \) присутствует в обоих треугольниках.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников: \[ \triangle ABM \cong \triangle CBM \]

Шаг 3: Доказательство, что \( BM \) является медианой

Из равенства треугольников \( \triangle ABM \) и \( \triangle CBM \) следует, что все соответствующие элементы этих треугольников равны, в частности:

• \( AM = CM \)

Это означает, что отрезок \( BM \) делит сторону \( AC \) на две равные части, то есть \( BM \) является медианой.

Шаг 4: Определение длины отрезка \( AM \)

Поскольку основание \( AC \) равно 84 см, а отрезок \( BM \) делит его пополам, длину \( AM \) можно найти так: \[ AM = \frac{AC}{2} = \frac{84\, \text{см}}{2} = 42\, \text{см} \]

Ответ:

Таким образом, мы доказали, что отрезок \( BM \) является медианой, и длина отрезка \( AM \) составляет: \[ AM = 42\, \text{см} \]