в треугольнике ABC BM-медиана и BH-высота. Известно что AC равна 216, HC равна 54 и угол ACB равен 40 градусов. найдите угол AMB

Чтобы найти угол \( \angle AMB \) в треугольнике \( ABC \), где \( BM \) — медиана, а \( BH \) — высота, воспользуемся известными величинами: \( AC = 216 \), \( HC = 54 \) и углом \( \angle ACB = 40^\circ \).

1. Начнем с нахождения длины отрезка \( AH \): \[ AH = AC - HC = 216 - 54 = 162 \]

2. Так как \( BH \) — это высота, можно использовать правило синусов в треугольнике \( AHC \) для нахождения стороны \( AB \): Чтобы найти угол \( \angle AHC \), используем: \[ \tan(\angle AHC) = \frac{HC}{AH} = \frac{54}{162} = \frac{1}{3} \]

   Теперь находим угол \( AHC \): \[ \angle AHC = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) \approx 18.43^\circ \]

3. Теперь нахождим \( \angle ABC \): Используем свойство суммы углов треугольника: \[ \angle ABC = 180^\circ - \angle ACB - \angle AHC \] Подставим известные значения: \[ \angle ABC = 180^\circ - 40^\circ - 18.43^\circ \approx 121.57^\circ \]

4. Теперь находим угол \( \angle AMB \). Угол \( \angle AMB \) будет равен углу \( \angle ABC \) плюс угол \( \angle AHB \).

   Из свойств медиан: \[ \angle AMB = 90^\circ + \frac{1}{2} \angle ACB \] Подставляем: \[ \angle AMB = 90^\circ + \frac{1}{2} \cdot 40^\circ = 90^\circ + 20^\circ = 110^\circ \]

В итоге, угол \( \angle AMB \) равен \( 110^\circ \).

Таким образом, ответ:
\[ \angle AMB = 110^\circ \]