x^2-2,5x+1<=0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 2,5x + 1 \leq 0\), выполним следующие шаги:
Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения
Для начала решим уравнение \(x^2 - 2,5x + 1 = 0\) с помощью формулы дискриминанта:
Определим коэффициенты:
- \(a = 1\)
- \(b = -2.5\)
- \(c = 1\)
Посчитаем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-2.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 6.25 - 4 = 2.25 \]
Найдем корни с помощью формулы: \[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{2.5 + \sqrt{2.25}}{2} = \frac{2.5 + 1.5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{2.5 - \sqrt{2.25}}{2} = \frac{2.5 - 1.5}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \]
Таким образом, корни уравнения: \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 0.5\).
Шаг 2: Определим область, где неравенство выполняется
Теперь рассмотрим интервал, образованный корнями \(x_1\) и \(x_2\). Выделим три интервала, которые есть:
- \(x < 0.5\)
- \(0.5 \leq x \leq 2\)
- \(x > 2\)
Теперь найдём знак квадратичной функции в каждом из этих интервалов.
Шаг 3: Выбор тестовых значений
Для интервала \( (-\infty; 0.5) \): возьмём \(x = 0\): \[ x^2 - 2.5x + 1 = 0^2 - 2.5 \cdot 0 + 1 = 1 > 0 \]
Для интервала \( (0.5, 2) \): возьмём \(x = 1\): \[ x^2 - 2.5x + 1 = 1^2 - 2.5 \cdot 1 + 1 = 1 - 2.5 + 1 = -0.5 < 0 \]
Для интервала \( (2, +\infty) \): возьмём \(x = 3\): \[ x^2 - 2.5x + 1 = 3^2 - 2.5 \cdot 3 + 1 = 9 - 7.5 + 1 = 2.5 > 0 \]
Шаг 4: Определяем решение неравенства
Мы выяснили, что:
- В интервале \( (-\infty; 0.5) \) функция положительна.
- В интервале \( (0.5, 2) \) функция отрицательна.
- В интервале \( (2, +\infty) \) функция снова положительна.
Мы ищем область, где \(x^2 - 2.5x + 1 \leq 0\). Это происходит на интервале \( 0.5 \leq x \leq 2 \), включая сами корни, так как знаки у нас сигнальны.
Ответ
Решение неравенства: \[ [0.5, 2] \]
Это интервал, в котором значение функции меньше или равно нулю.
