Найди производную функции f(x)=(2x^2-x)(x^2+7)

Для нахождения производной функции \( f(x) = (2x^2 - x)(x^2 + 7) \) воспользуемся правилом произведения. Правило произведения гласит, что если \( u(x) \) и \( v(x) \) две функции, то производная их произведения равна:

\[ (uv)' = u'v + uv' \]

Где \( u(x) = 2x^2 - x \) и \( v(x) = x^2 + 7 \).

Шаг 1: Найдем производные \( u'(x) \) и \( v'(x) \).

\( u(x) = 2x^2 - x \)

Производная \( u(x) \):

\[ u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - x) = 4x - 1 \]

\( v(x) = x^2 + 7 \)

Производная \( v(x) \):

\[ v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 7) = 2x \]

Шаг 2: Применим правило произведения.

\[ f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]

Подставим найденные производные:

\[ f'(x) = (4x - 1)(x^2 + 7) + (2x^2 - x)(2x) \]

Шаг 3: Раскроем скобки и упростим выражение.

Первый член: \[ (4x - 1)(x^2 + 7) = 4x(x^2) + 4x(7) - 1(x^2) - 1(7) \] \[ = 4x^3 + 28x - x^2 - 7 \]

Второй член: \[ (2x^2 - x)(2x) = 2x^2(2x) - x(2x) \] \[ = 4x^3 - 2x^2 \]

Шаг 4: Сложим все полученные члены.

\[ f'(x) = (4x^3 + 28x - x^2 - 7) + (4x^3 - 2x^2) \]

Объединим подобные слагаемые:

\[ f'(x) = 4x^3 + 4x^3 + 28x - x^2 - 2x^2 - 7 \] \[ = 8x^3 - 3x^2 + 28x - 7 \]

Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f'(x) = 8x^3 - 3x^2 + 28x - 7 \]