Для нахождения производной функции ( f(x) = (2x^2 - x)(x^2 + 7) ) воспользуемся правилом произведения. Правило произведения гласит, что если ( u(x) ) и ( v(x) ) две функции, то производная их произведения равна:
[
(uv)' = u'v + uv'
]
Где ( u(x) = 2x^2 - x ) и ( v(x) = x^2 + 7 ).
Шаг 1: Найдем производные ( u'(x) ) и ( v'(x) ).
( u(x) = 2x^2 - x )
Производная ( u(x) ):
[
u'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - x) = 4x - 1
]
( v(x) = x^2 + 7 )
Производная ( v(x) ):
[
v'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + 7) = 2x
]
Шаг 2: Применим правило произведения.
[
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
]
Подставим найденные производные:
[
f'(x) = (4x - 1)(x^2 + 7) + (2x^2 - x)(2x)
]
Шаг 3: Раскроем скобки и упростим выражение.
Первый член:
[
(4x - 1)(x^2 + 7) = 4x(x^2) + 4x(7) - 1(x^2) - 1(7)
]
[
= 4x^3 + 28x - x^2 - 7
]
Второй член:
[
(2x^2 - x)(2x) = 2x^2(2x) - x(2x)
]
[
= 4x^3 - 2x^2
]
Шаг 4: Сложим все полученные члены.
[
f'(x) = (4x^3 + 28x - x^2 - 7) + (4x^3 - 2x^2)
]
Объединим подобные слагаемые:
[
f'(x) = 4x^3 + 4x^3 + 28x - x^2 - 2x^2 - 7
]
[
= 8x^3 - 3x^2 + 28x - 7
]
Таким образом, производная функции ( f(x) ) равна:
[
f'(x) = 8x^3 - 3x^2 + 28x - 7
]
