Представить в тригонометрической форме число z=√3/2-1/2i

Чтобы представить число \( z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i \) в тригонометрической форме, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найти модуль числа \( z \)

Модуль комплексного числа \( z = a + bi \) вычисляется по формуле: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( b = -\frac{1}{2} \).

Подставляем значения: \[ |z| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \] \[ |z| = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1 \]

Шаг 2: Найти аргумент числа \( z \)

Аргумент комплексного числа \( z \) можно найти с помощью формулы: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] где \( a = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( b = -\frac{1}{2} \).

Найдём значение: \[ \tan(\theta) = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \] Аргумент \( \theta \) соответствует углу, для которого тангенс равен \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \). Углом, который обладает такими значениями на единичной окружности, будет \( -\frac{\pi}{6} \) (или, что эквивалентно, \( 11\pi/6 \) во второй половине окружности).

Шаг 3: Записать в тригонометрической форме

Теперь, когда у нас есть модуль \( r = 1 \) и аргумент \( \theta = -\frac{\pi}{6} \), можем записать число в тригонометрической форме:

\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]

Подставим найденные значения: \[ z = 1\left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \] \[ z = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \]

Ответ

В тригонометрической форме число \( z \): \[ z = \cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) \] Или: \[ z = 1 \left(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) \]

Таким образом, мы представили заданное комплексное число в тригонометрической форме. Если у тебя есть дополнительные вопросы или нужно что-то уточнить — дай знать!