В ящике 12 белых и 18 черных шаров. какова вероятность того, что среди этих шаров не менее трёх белыхПроизвольным образом извлекают 5 шаров.

Для решения задачи о вероятности, давайте разберём её по шагам: ### Дано: - 12 белых шаров - 18 черных шаров - Всего: \( 12 + 18 = 30 \) шаров - Извлекаем: 5 шаров ### Необходимое: Определить вероятность того, что среди извлечённых шаров будет не менее трёх белых. ### Подход: Чтобы найти вероятность того, что среди 5 шаров будет не менее 3 белых, мы можем рассмотреть несколько случаев: 1. 3 белых шара 2. 4 белых шара 3. 5 белых шаров Затем мы найдём вероятности для каждого случая и сложим их. ### Шаг 1: Вычисление общего количества способов извлечения 5 шаров Общее количество способов выбрать 5 шаров из 30 будет рассчитываться по формуле сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] где \( n \) — общее количество объектов, \( k \) — количество извлекаемых объектов. Таким образом: \[ C(30, 5) \] ### Шаг 2: Вычисление вероятностей для каждого случая #### Случай 1: 3 белых шара и 2 черных шара - Способы выбрать 3 белых шара из 12: \[ C(12, 3) \] - Способы выбрать 2 черных шара из 18: \[ C(18, 2) \] - Общее количество способов для этого случая: \[ C(12, 3) \cdot C(18, 2) \] #### Случай 2: 4 белых шара и 1 черный шар - Способы выбрать 4 белых шара из 12: \[ C(12, 4) \] - Способы выбрать 1 черный шар из 18: \[ C(18, 1) \] - Общее количество способов для этого случая: \[ C(12, 4) \cdot C(18, 1) \] #### Случай 3: 5 белых шара - Способы выбрать 5 белых шаров из 12: \[ C(12, 5) \] - Способы выбрать 0 черных шаров из 18: \[ C(18, 0) = 1 \] - Общее количество способов для этого случая: \[ C(12, 5) \cdot C(18, 0) \] ### Шаг 3: Суммирование вероятностей Теперь мы можем суммировать количество способов для всех случаев и поделить на общее количество способов выбрать 5 шаров. \[ P(A) = \frac{C(12,3) \cdot C(18,2) + C(12,4) \cdot C(18,1) + C(12,5) \cdot C(18,0)}{C(30, 5)} \] ### Шаг 4: Подсчет Теперь подставим значения и сделаем расчёты. 1. \( C(30, 5) = \frac{30!}{5! \cdot 25!} = 142506 \) 2. - \( C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = 220 \) - \( C(18, 2) = \frac{18!}{2! \cdot 16!} = 153 \) - \( \Rightarrow C(12, 3) \cdot C(18, 2) = 220 \cdot 153 = 33760 \) 3. - \( C(12, 4) = \frac{12!}{4! \cdot 8!} = 495 \) - \( C(18, 1) = 18 \) - \( \Rightarrow C(12, 4) \cdot C(18, 1) = 495 \cdot 18 = 8910 \) 4. - \( C(12, 5) = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = 792 \) - \( C(18, 0) = 1 \) - \( \Rightarrow C(12, 5) \cdot C(18, 0) = 792 \cdot 1 = 792 \) Теперь суммируем: \[ 33760 + 8910 + 792 = 43562 \] ### Идем к окончательной формуле вероятности: \[ P(A) = \frac{43562}{142506} \] ### Заключение Теперь можно вычислить вероятности. После выполнения делений вы получите окончательное значение вероятности, что среди извлечённых 5 шаров будет не менее 3-х белых. Помните округлить результат по необходимости. **Ответ:** Вероятность того, что среди 5 извлечённых шаров будет не менее 3 белых, составляет \( \frac{43562}{142506} \) или примерно 0.305.