Найди площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды, высота боковой грани которой равна 6√3, а сторона основания 5.
Для нахождения площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды, необходимо сначала рассмотреть её структуру. Правильная треугольная пирамида имеет треугольное основание и три боковые грани, которые являются равнобедренными треугольниками.
Обозначим известные данные:
- Длина стороны основания \( a = 5 \).
- Высота боковой грани \( h_{\text{бок}} = 6\sqrt{3} \).
Найдем высоту основания: Основание пирамиды представляет собой равносторонний треугольник. Чтобы найти высоту этого треугольника, используем следующую формулу:
\[ h_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]
Подставим значение \( a = 5 \):
\[ h_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 5 = \frac{5\sqrt{3}}{2} \]
Найдем длину высоты боковой грани: Высота боковой грани – это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания. Обозначим её как \( h_{\text{пирамида}} \). Используем прямоугольный треугольник, где:
- Один катет — это высота основания \( h_{\text{осн}} = \frac{5\sqrt{3}}{2} \).
- Другой катет — это высота боковой грани, которая спускается от вершины пирамиды, и равна \( h_{\text{бок}} = 6\sqrt{3} \).
Используя теорему Пифагора, находим расстояние от вершины основания до вершины пирамиды:
\[ \text{гипотенуза}^2 = (h_{\text{бок}})^2 - (h_{\text{осн}})^2 \]
Подставляем значения:
\[ l^2 = (6\sqrt{3})^2 - \left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2 \] \[ l^2 = 108 - \frac{75}{4} = 108 - 18.75 = 89.25 \] \[ l = \sqrt{89.25} \approx 9.43 \]
Найдем площадь основания: Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:
\[ S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 5^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 25 = \frac{25\sqrt{3}}{4} \]
Найдем площадь боковой грани: Площадь боковой треугранной грани:
Площадь одного равнобедренного треугольника \( S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{\text{бок}} \):
\[ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6\sqrt{3} = 15\sqrt{3} \]
Поскольку у нас 3 такие боковые грани:
\[ S_{\text{боковые}} = 3 \cdot S_{\text{бок}} = 3 \cdot 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3} \]
Найдем полную площадь поверхности: Полная площадь поверхности пирамиды:
\[ S_{\text{полная}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{боковые}} = \frac{25\sqrt{3}}{4} + 45\sqrt{3} \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ S_{\text{полная}} = \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{180\sqrt{3}}{4} = \frac{205\sqrt{3}}{4} \]
Таким образом, полная площадь поверхности правильной треугольной пирамиды составляет:
\[ \boxed{\frac{205\sqrt{3}}{4}} \]
