На соревнованиях выступают спортсмены из 9 9 разных городов. Среди этих городов есть Новосибирск, Омск, Иркутск и Казань. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что спортсмен из Казани будет выступать раньше спортсменов из Омска и Иркутска и позже спортсмена из Новосибирска

Для решения этой задачи нам нужно рассмотреть порядок выступления спортсменов и найти вероятность того, что спортсмен из Казани будет выступать раньше спортсменов из Омска и Иркутска и позже спортсмена из Новосибирска. 1. **Обозначим спортсменов**: Давайте обозначим спортсменов из разных городов: - Н — Новосибирск - О — Омск - И — Иркутск - К — Казань Существует еще 5 других спортсменов из других городов, но их можно обозначить как X1, X2, X3, X4, X5. Таким образом, у нас есть 9 спортсменов: Н, О, И, К, X1, X2, X3, X4, X5. 2. **Всего способов упорядочить 9 спортсменов**: Общее число способов упорядочить 9 спортсменов равно \(9!\) (факториал 9), что составляет 362880. 3. **Условия задачи**: Нам нужно, чтобы: - Казань (К) выступала после Новосибирска (Н), - Казань (К) выступала перед Омском (О) и Иркутском (И). Чтобы понять, сколько таких упорядочений, давайте сначала рассчитаем, как можно упорядочить К относительно Н, О и И. 4. **Количество упорядочений**: Рассмотрим группу из 4 спортсменов: Н, О, И и К. Мы можем их упорядочить так, чтобы К была между Н и И, а также между Н и О. Вот все возможные позиции для спортсменов: - Если Н на первой позиции, то К может быть на второй, третьей или четвертой, но при этом нужно учитывать, что К должна быть перед И и О. - Если Н на второй, то К может быть в одной из следующих позиций, и так далее. Важно заметить, что при любых фиксированных позициях Н, О и И, К всегда может занять одну определенную позицию между Н и остальными спортсменами. 5. **Вероятность**: Сначала фиксируем Н на первой позиции. Мы имеем 3 позиции для К (вторую, третью или четвертую), а остальные 5 спортсменов могут занимать оставшиеся 5 позиций произвольно. Порядок остальных спортсменов не имеет значения. Количество благоприятных исходов для К, чтобы она находилась между Н и О, И, т.е. занимает 1 из 3 возможных позиций, где остальные 5 спортсменов могут быть расположены произвольно (5 спортсменов!). Количество способов, как это можно сделать, равно \(5! = 120\). 6. **Счёт всех допустимых случаев**: Общее число способов в этой ситуации теперь будет \(3 \times 5! = 3 \times 120 = 360\). 7. **Итоговая вероятность**: Теперь делим число благоприятных случаев на общее число способов. \[ P = \frac{360}{362880} = \frac{1}{1008} \approx 0.000992 \] Итак, вероятность того, что спортсмен из Казани будет выступать раньше спортсменов из Омска и Иркутска, и позже спортсмена из Новосибирска, составит примерно \( \frac{1}{1008} \) или около 0,0992%.