На ребре СС1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отметили точку М так, что СМ:С1М=1:2. Найдите угол между прямой А1М и плоскостью СDD1, если АD=4 корня из 2, СD=4см, АА1=6см.

Чтобы найти угол между прямой \( A_1M \) и плоскостью \( SDD_1 \) в заданном прямоугольном параллелепипеде, следуем следующим шагам: ### Шаг 1: Определение координат вершин параллелепипеда Рассмотрим, что  - точка \( A \) находится в начале координат: \( A(0, 0, 0) \) - точка \( B(4\sqrt{2}, 0, 0) \) (так как \( AD = 4 \sqrt{2} \)) - точка \( D(0, 4, 0) \) (так как \( CD = 4 \)) - точка \( A_1(0, 0, 6) \) (так как \( AA_1 = 6 \)) Тогда координаты всех остальных вершин будут: - \( C(4\sqrt{2}, 4, 0) \) - \( B_1(4\sqrt{2}, 0, 6) \) - \( D_1(0, 4, 6) \) - \( C_1(4\sqrt{2}, 4, 6) \) ### Шаг 2: Определение координат точки M на ребре CC1 Ребро \( CC_1 \) соединяет точки \( C \) и \( C_1 \) с координатами: - \( C(4 \sqrt{2}, 4, 0) \) - \( C_1(4 \sqrt{2}, 4, 6) \) Теперь найдем координаты точки \( M \), которая делит отрезок \( CC_1 \) в отношении \( 1:2 \). Это означает, что 1 часть от 3 (1 часть к 2 частям). Координаты точки \( M \) можно найти по формуле: \[ M = \frac{2 \cdot C + 1 \cdot C_1}{1 + 2} = \frac{2(4\sqrt{2}, 4, 0) + 1(4\sqrt{2}, 4, 6)}{3} \] \[ = \frac{(8\sqrt{2} + 4\sqrt{2}, 8 + 4, 0 + 6)}{3} = \frac{(12\sqrt{2}, 12, 6)}{3} = (4\sqrt{2}, 4, 2) \] ### Шаг 3: Вектор A1M Теперь, найдем вектор \( A_1M \): \[ A_1(0, 0, 6), M(4\sqrt{2}, 4, 2) \] Вектор \( A_1M \) будет равен: \[ A_1M = M - A_1 = (4\sqrt{2}, 4, 2) - (0, 0, 6) = (4\sqrt{2}, 4, -4) \] ### Шаг 4: Определение нормали плоскости SDD1 Плоскость \( SDD_1 \) образована точками \( S(4\sqrt{2}, 4, 0) \), \( D(0, 4, 0) \) и \( D_1(0, 4, 6) \). Чтобы найти нормальный вектор \( \vec{n} \) к плоскости SDD1, находим два вектора, лежащих в плоскости: 1. Вектор \( \overrightarrow{SD} = D - S = (0, 4, 0) - (4\sqrt{2}, 4, 0) = (-4\sqrt{2}, 0, 0) \) 2. Вектор \( \overrightarrow{SD_1} = D_1 - S = (0, 4, 6) - (4\sqrt{2}, 4, 0) = (-4\sqrt{2}, 0, 6) \) Теперь находим векторное произведение, чтобы получить нормаль: \[ \vec{n} = \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SD_1} \] \[ = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4\sqrt{2} & 0 & 0 \\ -4\sqrt{2} & 0 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 6 - 0 \cdot 0) - \hat{j}(-4\sqrt{2} \cdot 6 - 0) + \hat{k}(-4\sqrt{2} \cdot 0 - 0 \cdot -4\sqrt{2}) \] \[ = 0 \hat{i} + 24\sqrt{2} \hat{j} + 0 \hat{k} = (0, 24\sqrt{2}, 0) \] ### Шаг 5: Угол между A1M и плоскостью SDD1 Теперь мы знаем вектор \( A_1M = (4\sqrt{2}, 4, -4) \) и нормаль к плоскости \( \vec{n} = (0, 24\sqrt{2}, 0) \). Чтобы найти угол \( \theta \). Используем формулу: \[ \cos{\theta} = \frac{|\vec{A1M} \cdot \vec{n}|}{|\vec{A1M}| |\vec{n}|} \] Сначала найдем модуль векторов: \[ |\vec{n}| = 24\sqrt{2} \] Далее находим скалярное произведение: \[ \vec{A1M} \cdot \vec{n} = (4\sqrt{2}, 4, -4) \cdot (0, 24\sqrt{2}, 0) = 4 \cdot 24 \cdot 2 = 192 \] Теперь, модуль \( |\vec{A1M}| \): \[ |\vec{A1M}| = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32 + 16 + 16} = \sqrt{64} = 8 \] Теперь подставляем: \[ \cos{\theta} = \frac{192}{8 \cdot 24\sqrt{2}} = \frac{192}{192\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Следовательно, \[ \theta = \frac{\pi}{4} \text{ или } 45^\circ \] ### Ответ: Угол между прямой \( A_1M \) и плоскостью \( SDD_1 \) равен \( 45^\circ \).